多次元正規分布とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

多次元正規分布

読み方：たじげんせいきぶんぷ
【英】：multivariate normal distribution

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを $\boldsymbol{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,$ , (分散)共分散行列を $\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,$ とすると, $n \,$ 次の多次元正規分布の確率密度関数は $\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,$ として

$f(\boldsymbol{x})= \displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp} \left[ - \frac{1}{2} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top} \right] } \,$

で与えられる. ただし, $\boldsymbol{x}^{\top} \,$ はベクトル $\boldsymbol{x} \,$ の転置, $|\mathbf{\Sigma}| \,$ は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.

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多変量正規分布

(多次元正規分布から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/07 06:29 UTC 版)

確率論と統計学において、多変量正規分布（たへんりょうせいきぶんぷ、英: multivariate normal distribution）または多次元正規分布、あるいは結合正規分布（英: joint normal distribution）、もしくはこれらの語で「正規分布」を「ガウス分布」に換えたもの、は1次元の正規分布を高次元へと一般化した確率分布である。ベクトル値確率変数（英語版）が k 変量正規分布に従うとは、それらの k 個の成分（実数値確率変数）の任意の（実係数）線型結合が1変量正規分布に従うことを言う。この分布の重要性は主として、多変数の場合の中心極限定理の分布収束先として現れることによる。多変量正規分布はしばしば、少なくとも近似的に、互いに相関を持ち、平均ベクトルの周辺に値が集中するような確率変数の組を記述するのに用いられる。

脚注

^ ^a ^b ^c Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5
^ Gut, Allan (2009). An Intermediate Course in Probability. Springer. ISBN 978-1-441-90161-3
^ Kac, M. (1939). “On a characterization of the normal distribution”. American Journal of Mathematics 61 (3): 726–728. doi:10.2307/2371328. JSTOR 2371328.
^ Sinz, Fabian; Gerwinn, Sebastian; Bethge, Matthias (2009). “Characterization of the p-generalized normal distribution”. Journal of Multivariate Analysis 100 (5): 817–820. doi:10.1016/j.jmva.2008.07.006.
^ UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution, 21.5:"Finding the Density".
^ Hamedani, G. G.; Tata, M. N. (1975). “On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables”. The American Mathematical Monthly 82 (9): 913–915. doi:10.2307/2318494. JSTOR 2318494.
^ Wyatt, John. “Linear least mean-squared error estimation”. Lecture notes course on applied probability. 2012年1月23日閲覧。
^ 周辺分布についての正式な証明は http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html 参照。
^ Gentle, J.E. (2009). Computational Statistics. Statistics and Computing. New York: Springer. pp. 315–316. doi:10.1007/978-0-387-98144-4. ISBN 978-0-387-98143-7. http://cds.cern.ch/record/1639470

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