基本的な例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/08 07:06 UTC 版)
可換環 R 上の n 次正方行列全体の集合 Mn(R) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。Mn(R) の単元群は環 R 上の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n, R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である。
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基本的な例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/06 18:51 UTC 版)
コンパクトハウスドルフ空間の不可算個の直積である空間のベール集合は、可算個の因子座標で完全に決定される。因子空間の全てに一つ以上の点が存在する場合、一元集合はベール集合にはならない。一方、この集合は閉集合なので、ボレル集合ではある。
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基本的な例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 16:28 UTC 版)
合同関係のプロトタイプの例は整数全体の集合上の n {\displaystyle n} を法とした合同である。与えられた正の整数 n {\displaystyle n} に対して、2 つの整数 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} は次のようなとき n {\displaystyle n} を法として合同 (congruent modulo n {\displaystyle n} ) と呼ばれ、 a ≡ b ( mod n ) {\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}} と書かれる。 a − b {\displaystyle a-b} が n {\displaystyle n} によって割り切れる（あるいは同じことだが a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} は n {\displaystyle n} で割られたときに同じ余りを持つ）。 例えば、 37 {\displaystyle 37} と 57 {\displaystyle 57} は 10 {\displaystyle 10} を法として合同である 37 ≡ 57 ( mod 10 ) {\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}} なぜならば 37 − 57 = − 20 {\displaystyle 37-57=-20} は 10 の倍数であるからだ、あるいは同じことだが、 37 {\displaystyle 37} と 57 {\displaystyle 57} はどちらも 10 {\displaystyle 10} で割ったときに 7 {\displaystyle 7} 余るからである。 （固定された n {\displaystyle n} に対して） n {\displaystyle n} を法とした合同は整数の加法と乗法両方と両立する。つまり、 a 1 ≡ a 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}} かつ b 1 ≡ b 2 ( mod n ) {\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}} であれば a 1 + b 1 ≡ a 2 + b 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}} かつ a 1 b 1 ≡ a 2 b 2 ( mod n ) {\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}} である。合同類の対応する加法と乗法は合同算術として知られている。抽象代数学の観点からは、 n {\displaystyle n} を法とした合同は整数環上の合同関係であり、 n {\displaystyle n} を法とした算術は対応する商環で起こる。
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