ラプラス＝ベルトラミ作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:55 UTC 版)
「ラプラス作用素」の記事における「ラプラス＝ベルトラミ作用素」の解説
詳細は「ラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）」を参照 ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス＝ベルトラミ作用素を函数に適用すれば、その函数のヘッセ行列のトレース Δ f = tr ( H ( f ) ) {\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} (H(f))} が得られる。ただし、トレースは計量テンソルの逆に関して取るものとする。ラプラス＝ベルトラミ作用素を同様の式でテンソル場に作用する作用素（これもまたラプラス＝ベルトラミ作用素と呼ばれる）に一般化することができる。 ラプラス作用素の別な一般化として、擬リーマン多様体上で定義される外微分を用いた「幾何学者のラプラシアン」と呼ばれる Δ f = d ∗ d f {\displaystyle \Delta f=d^{*}df} を考えることもできる。ここで d∗は余微分で、ホッジ双対を使って書くこともできる。これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。そのことは大域解析学の論文を読むときには常に気を付けねばならない。より一般に、微分形式に対して定義される「ホッジ」ラプラシアン α は Δ α = d ∗ d α + d d ∗ α {\displaystyle \Delta \alpha =d^{*}d\alpha +dd^{*}\alpha } と書ける。これはまたラプラス＝ドラーム作用素（英語版）とも呼ばれ、ヴァイツェンベック不等式（英語版）によってラプラス＝ベルトラミ作用素と関係する。
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