ラプラス作用素
(ラプラシアン から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/12 01:54 UTC 版)
数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、英: Laplace operator）あるいはラプラシアン（英: Laplacian）は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では ∇·∇, ∇2, あるいは ∆ で表されるのが普通である。函数 f の点 p におけるラプラシアン ∆f(p) は（次元に依存する定数の違いを除いて）点 p を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの f(p) から得られる平均値になっている。直交座標系においては、ラプラシアンは各独立変数に関する函数の二階（非混合）偏導函数の和として与えられ、またほかに円筒座標系や球座標系などの座標系においても有用な表示を持つ。
- ^ a b 野村 2006, p5-6.
- ^ Evans 1998, §2.2.
- ^ Gilbarg & Trudinger 2001, Theorem 8.6.
- ^ Gilbarg & Trudinger 2001, Corollary 8.11.
- ^ a b c Jean Gallier, Jocelyn Quaintance (2020/8/18). Differential Geometry and Lie Groups A Second Course. Geometry and Computing. 13. Springer. ISBN 978-3-030-46047-1 pp.296, 375, 381-382,392, 394, 396.
- ^ Jeff A. Viaclovsky. “Math 865, Topics in Riemannian Geometry”. カリフォルニア大学アーバイン校. 2023年10月31日閲覧。 p.25.
- ^ a b #Wang-27 p.2.
- ^ “第 66回 幾何学シンポジウム 予稿集”. 名古屋大学. p. 175. 2023年11月1日閲覧。
- ^ “微分幾何学講義”. p. 6. 2023年11月1日閲覧。
- ^ #Gallier pp.396.
- 1 ラプラス作用素とは
- 2 ラプラス作用素の概要
- 3 動機付け
- 4 各種座標表示
- 5 スペクトル論
- 6 脚注
ラプラシアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:00 UTC 版)
詳細は「ラプラス作用素」を参照 もう1つの高次元への一般化として、ラプラシアンがある。これは ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}} として定義される微分作用素 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} （あるいは Δ {\displaystyle \Delta } ）である。 函数のラプラシアンは、勾配の発散とヘッセ行列の跡に等しい。
※この「ラプラシアン」の解説は、「二階導関数」の解説の一部です。
「ラプラシアン」を含む「二階導関数」の記事については、「二階導関数」の概要を参照ください。
ラプラシアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
ラプラシアンについても、r ≠ 0 をみたす任意の(r , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。 ( Δ f ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = 1 r ∂ ∂ r ( r ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ) ( r , θ , ζ ) + 1 r 2 ( ∂ 2 ( f ∘ Φ ) ∂ θ 2 ) ( r , θ , ζ ) + ( ∂ 2 ( f ∘ Φ ) ∂ ξ 2 ) ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left(\Delta f\right)\left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)\right)(r,\theta ,\zeta )+{\frac {1}{{r}^{2}}}\left({\frac {{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\theta }^{2}}}}\right)(r,\theta ,\zeta )+\left({\frac {{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\xi }^{2}}}}\right)(r,\theta ,\zeta )} (6-2-3)
※この「ラプラシアン」の解説は、「円柱座標変換」の解説の一部です。
「ラプラシアン」を含む「円柱座標変換」の記事については、「円柱座標変換」の概要を参照ください。
ラプラシアン（Laplacian）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:14 UTC 版)
「共変微分」の記事における「ラプラシアン（Laplacian）」の解説
スカラー f から構成したスカラー Δ 1 f = ∑ j , i g j i ( ∇ j f ) ( ∇ i f ) {\displaystyle \Delta _{1}f=\sum _{j,i}g^{ji}(\nabla _{j}f)(\nabla _{i}f)} , Δ 2 f = ∑ j , i g j i ∇ j ∇ i f {\displaystyle \Delta _{2}f=\sum _{j,i}g^{ji}\nabla _{j}\nabla _{i}f} をそれぞれ、ベルトラミの第一微分係数、第二微分係数と呼ぶ。なお、第二微分係数について Δ f = ∑ j , i g j i ∇ j ∇ i f {\displaystyle \Delta f=\sum _{j,i}g^{ji}\nabla _{j}\nabla _{i}f} とおいて、これを f のラプラシアン（Laplacian）と呼ぶこともある。
※この「ラプラシアン（Laplacian）」の解説は、「共変微分」の解説の一部です。
「ラプラシアン（Laplacian）」を含む「共変微分」の記事については、「共変微分」の概要を参照ください。
ラプラシアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 17:55 UTC 版)
「マギステルス・バッドトリップ」の記事における「ラプラシアン」の解説
薄紫のパーティドレスを纏うメガネの美女のアバターの、ギャンブル専門のディーラー。動体視力を高める『D.V.A.』や強制的に理系思考へ頭を偏らせる『サイエンスコース』など、十数種類のスキルの掛け合わせる事により高い演算能力を発揮する。マギステルスは黒髪を頭の両側でもっさり束ねた小柄な吸血鬼であり、着物を派手に着崩し和傘を差した少女の姿。
※この「ラプラシアン」の解説は、「マギステルス・バッドトリップ」の解説の一部です。
「ラプラシアン」を含む「マギステルス・バッドトリップ」の記事については、「マギステルス・バッドトリップ」の概要を参照ください。
- ラプラシアンのページへのリンク
