チーガー-ミューラーの定理

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チーガー-ミューラーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/09 02:23 UTC 版)

「解析的トーション」の記事における「チーガー-ミューラーの定理」の解説

(M , g ) を向きづけ可能な n 次元リーマン多様体とし、 を N 次元実ベクトル空間上への M の基本群の表現とすると、Eq の平坦性のために、ド・ラーム複体 と定義することができる。ここに P はラプラシアン Δq の、L2 Λ(E ) の核空間 の上への写像である。 1967年、セーレイは が s = 0 で正則な の有理型函数に拡張することができることを証明した(Seeley 1967)。 直交表現の場合は、解析トーション を により定義できる。 1971に、D.B. レイとI.M. シンガーは、任意のユニタリ表現 ρ に対し であろうことを予想したRay and Singer (1971)。 J. Cheeger Cheeger (1977, 1979) と W. Muller Müller (1978) は、このレイ-シンガーの予想を独立に証明した。彼らのアイデアはトーションの対数を考え、そのトレースを取るというものである。最初に奇数次元の多様体に対して証明し、それから技術的に困難がある偶数に対して証明した。 後年、アティヤ・パトーディ・シンガーの指数定理とともに、2つのトーションが同値であるというチーガー-ミューラーの定理は、チャーン-サイモンズ摂動論の基礎をなしている。このもう一つの側面として、1978年に出されたA. シュワルツの論文が重要である。