クレブシュ–ゴルダン係数
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量子力学においてクレブシュ–ゴルダン係数（クレブシュ–ゴルダンけいすう、CG係数、英: Clebsch–Gordan coefficients）またはウィグナー係数は、角運動量の合成で生じる係数の組である。2つの角運動量の和によって出来た角運動量の固有状態を得るために必要となる。
- ^ Alex, A.; M. Kalus, A. Huckleberry, and J. von Delft (February 2011). “A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch–Gordan coefficients”. J. Math. Phys. 82: 023507. Bibcode: 2011JMP....52b3507A. doi:10.1063/1.3521562 2011年4月13日閲覧。.
クレブシュ–ゴルダン係数
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「球面調和関数」の記事における「クレブシュ–ゴルダン係数」の解説
クレブシュ–ゴルダン係数とは、二つの球面調和関数の積を球面調和関数の線形結合で展開する際の展開係数である。ウィグナーの3-j記号やラカー係数、スレーター積分など様々な計算方法があるが、本質は同じである。抽象的には、クレブシュ–ゴルダン係数は二つの回転群の既約表現のテンソル積を既約表現の和で表わすときの係数と見ることができる。よって、適切に正規化すれば多重度と一致する。
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クレブシュ–ゴルダン係数
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「スピン角運動量」の記事における「クレブシュ–ゴルダン係数」の解説
詳細は「クレブシュ–ゴルダン係数」を参照 Wu、Wvをそれぞれ2u+1次元、2ｖ+1次元の複素計量ベクトル空間とし、 D u : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) {\displaystyle D^{u}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})} D v : S p i n ( 3 ) → U ( W v ) {\displaystyle D^{v}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{v})} を既約ユニタリ表現としても D u ⊗ D v : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) ⊗ U ( W v ) ⊂ U ( W u ⊗ W v ) {\displaystyle D^{u}\otimes D^{v}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})\otimes \mathrm {U} (W_{v})\subset \mathrm {U} (W_{u}\otimes W_{v})} は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている： W u ⊗ W v ≃ ⨁ w = | u − v | u + v W w {\displaystyle W_{u}\otimes W_{v}\simeq \bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}W_{w}} D u ⊗ D v ≃ ⨁ w = | u − v | u + v D w {\displaystyle D^{u}\otimes D^{v}\simeq \bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}D^{w}} 上式をクレブシュ–ゴルダン分解という:p59:p116。 上式左辺の基底は、 | u , j 1 ⟩ ⊗ | v , j 2 ⟩ {\displaystyle |u,j_{1}\rangle \otimes |v,j_{2}\rangle } の形式で記述できる。ここで | u , j 1 ⟩ {\displaystyle |u,j_{1}\rangle } は固有値j1に対応するDuの固有状態である。一方右辺の基底は | u , v , w , j ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle } の形式で記述できる。ここで | u , v , w , j ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle } は W u ⊗ W v {\displaystyle W_{u}\otimes W_{v}} における、固有値jに対応するDwの固有状態である。両者は基底変換で結ばれるので、何らかの係数c(u,v,w,j1,j2,j)を用いて | u , v , w , j ⟩ = ∑ w = | u − v | u + v c ( u , v , w , j 1 , j 2 , j ) | u , j 1 ⟩ ⊗ | v , j 2 ⟩ {\displaystyle |u,v,w,j\rangle =\sum _{w=|u-v|}^{u+v}c(u,v,w,j_{1},j_{2},j)|u,j_{1}\rangle \otimes |v,j_{2}\rangle } と書ける。c(u,v,w,j1,j2,j)をクレブシュ–ゴルダン係数という:p60-61。
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