クレブシュ–ゴルダン係数 対称性

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クレブシュ–ゴルダン係数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/22 08:30 UTC 版)

対称性

${\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}$

これらの関係を得る便利な方法は、クレブシュ–ゴルダン係数を以下の式で3j記号に変換することである。 3j記号の対称性はより簡潔である。

量子数が整数または半整数になりうるので、位相因子を簡単にする場合は注意が必要である。 例えば$(-1)^{2j}$は整数$j$で１に等しく、半整数$j$で−１に等しい。 しかし以下の関係は、どちらの場合でも有効である。

$(-1)^{4j}=(-1)^{2(j-m)}=1\$

同じクレブシュ–ゴルダン係数に現れる$j_{1}$、$j_{2},$、$J$では

$(-1)^{2(j_{1}+j_{2}+J)}=(-1)^{2(m_{1}+m_{2}+M)}=1$