重力ポテンシャル重力ポテンシャルの概要

均一な球体の周りの重力ポテンシャルの 2次元でスライスしプロットした図、変曲点は、球体の表面にある。

通常は無限遠を重力ポテンシャルの基準点（重力ポテンシャルが 0 となる点）として選ぶ。このとき、重力は常に引力として作用するため、有限の距離では重力ポテンシャルは負の値をとる。重力ポテンシャルは単位質量あたりのエネルギー（つまり速度の二乗）の次元を持ち、MKSA単位系では [J/kg] または [m²/s²] という単位の物理量として表される.

数学では、重力ポテンシャルはニュートンポテンシャル（英語版）とも呼ばれ、ポテンシャル論の研究において基本的である。

位置エネルギーと重力ポテンシャル

重力ポテンシャルとは単位質量あたりの位置エネルギーに等しいから、位置 ${\boldsymbol {r}}$

点 x と r とする。r は質量分布（灰色）の中に含まれ、微分された質量 dm(r) は点 r に位置するとする。

質量分布が3次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 上の連続的な分布 $dM=\rho ({\boldsymbol {r}})d^{3}r$ である場合には、上式の和は体積積分へと置き換えられる^[3]。

\Phi ({\boldsymbol {r}})=-\int {\frac {G\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d^{3}r'

この関係式は、重力ポテンシャル $\Phi$ は密度分布 $\rho$ とポアソン方程式

\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho

により結びついていることを意味する^[9]。ここに $\nabla ^{2}$ はラプラシアンである。実際、上の $\Phi$ の積分表示は、無限遠でポテンシャルが 0 であるという境界条件のもとでのこのポアソン方程式の解のグリーン関数を用いた積分表示に等しい^[10]。

球対称系

球対称な質量分布 $\rho =\rho (r)$ のもとでは、重力ポテンシャル $\Phi$ もやはり球対称性を持ち動径 $r$ だけの関数となる。このとき重力ポテンシャルに関するポアソン方程式は、ラプラシアンの球座標表示の公式により

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho

と書き直せる。これはただちに積分できて、重力加速度 $g=-\partial _{r}\Phi$ および重力ポテンシャル $\Phi$ が

g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}},\ \ \Phi (r)=-\int _{r}^{\infty }{\frac {GM(r')}{r'^{2}}}dr'

と求まる^[7]。ここに $M(r)$ は動径 $r$ 以内の質量

M(r)=\int _{0}^{r}4\pi r'^{2}\rho (r')dr'

である。特に、この重力加速度 $g(r)$ の表式は、原点 $r=0$ に質量 $M(r)$ の質点が存在するときに生じる重力加速度に等しい^[11]。

半径 $R$ の一様密度 $\rho$ を持つ球の場合、重力ポテンシャル $\Phi$ に関する積分を実行することができ

\Phi (r)={\begin{cases}-{\frac {2}{3}}\pi G\rho (3R^{2}-r^{2})&r\leq R\\-4\pi G\rho R^{3}/3r&r\geq R\end{cases}}

が得られる^[12]。

多重極展開

質量分布が有界な領域に限られるとき、その外部の真空領域での重力ポテンシャルは、球座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると多重極展開

\Phi (r,\theta ,\varphi )=-G\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}{\frac {4\pi }{2l+1}}{\frac {Q_{lm}}{r^{l+1}}}Y_{lm}(\theta ,\varphi )

という形に表すことができる^[13]^[14]。ここに $Y_{lm}$ は球面調和関数であり、 $Q_{lm}$ は質量分布の多重極モーメント (ストークス係数)

Q_{lm}=\int r^{l}\rho (r,\theta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\theta ,\varphi )\,r^{2}dr\,\sin \theta d\theta \,d\varphi

である。0 次の多重極モーメント $Q_{00}$ は系の全質量 $M$ に等しく、質量分布の重心を座標原点に選ぶとき $Q_{1m}=0$ である^[13]から、多重極展開はニュートンポテンシャル $-GM/r$ に四重極モーメント $Q_{2m}$ などの高次モーメントによる補正を加えたものと解釈できる。実際、 $2^{l}$ -重極モーメント $Q_{lm}$ は ${\mathcal {O}}(MR^{l})$ ( $R$ は質量分布の典型的な半径) 程度の量であり、従って $2^{l}$ -重極モーメント $Q_{lm}$ によるニュートンポテンシャルに対する補正は ${\mathcal {O}}\left\{\left(R/r\right)^{l}\right\}$ 程度の量となる^[14]。

特に地球のように軸対称な系の場合、多重極モーメント $Q_{lm}$ は $m\neq 0$ のときゼロになり、重力ポテンシャルはルジャンドル多項式 $P_{l}$ を用いて

\Phi (r,\theta ,\varphi )=-{\frac {GM}{r}}\left\{1-\sum _{l=2}^{\infty }J_{l}\left({\frac {R}{r}}\right)^{l}P_{l}(\cos \theta )\right\}

と書ける^[15]。

脚注

^ 『重力ポテンシャル』 - 天文学辞典（日本天文学会）
^ 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.100-102.
^ ^a ^b Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 56-60.
^ 戸田盛和, 「力学 (物理入門コース1)」, 岩波書店, 1982. ISBN 4-00-007641-8. pp. 71-74.
^ 戸田盛和, 「力学 (物理入門コース1)」, 岩波書店, 1982. ISBN 4-00-007641-8. pp. 46.
^ 『宇宙速度』 - 天文学辞典（日本天文学会）
^ ^a ^b ^c Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 62-63.
^ 篠本滋, 坂口英継「力学 (基幹講座物理学)」東京図書, 2013. ISBN 978-4-489-02163-3. pp. 77-79
^ 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.111-115.
^ 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.115-117.
^ 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.108-111.
^ Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 63-65.
^ ^a ^b Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 78-83.
^ ^a ^b 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.117-119.
^ 木下宙「天体と軌道の力学」東京大学出版会, 1998. ISBN 978-4-13-060721-6. pp. 181-182.
^ 田中貴浩『深化する一般相対論ブラックホール・重力波・宇宙論』丸善出版, 2017年. ISBN 978-4621302316. p. 40.
^ L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ『場の古典論』東京図書〈理論物理学教程〉, 1978年. ISBN 4-489-01161-X. p.276-279,
^ Peter Schneider, Juergen Ehlers, Emilio E. Falco, Gravitational Lenses (Astronomy and Astrophysics Library), Springer, 2009. ISBN 978-3-540-66506-9. pp. 123.

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[続きの解説]

「重力ポテンシャル」の続きの解説一覧

1 重力ポテンシャルとは
2 重力ポテンシャルの概要
3 一般相対論
4 脚注

[1] 『重力ポテンシャル』 - 天文学辞典（日本天文学会）

[2] 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.100-102.

[gd56-3] Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 56-60.

[4] 戸田盛和, 「力学 (物理入門コース1)」, 岩波書店, 1982. ISBN 4-00-007641-8. pp. 71-74.

[5] 戸田盛和, 「力学 (物理入門コース1)」, 岩波書店, 1982. ISBN 4-00-007641-8. pp. 46.

[6] 『宇宙速度』 - 天文学辞典（日本天文学会）

[gd62-7] Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 62-63.

[8] 篠本滋, 坂口英継「力学 (基幹講座物理学)」東京図書, 2013. ISBN 978-4-489-02163-3. pp. 77-79

[9] 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.111-115.

[10] 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.115-117.

[11] 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.108-111.

[12] Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 63-65.

[gd78-13] Binney & Tremaine, (2008). Galactic Dynamics (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 78-83.

[series117-14] 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」日本評論社, 2009. ISBN 978-4-535-60733-0. pp.117-119.

[15] 木下宙「天体と軌道の力学」東京大学出版会, 1998. ISBN 978-4-13-060721-6. pp. 181-182.

[16] 田中貴浩『深化する一般相対論ブラックホール・重力波・宇宙論』丸善出版, 2017年. ISBN 978-4621302316. p. 40.

[17] L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ『場の古典論』東京図書〈理論物理学教程〉, 1978年. ISBN 4-489-01161-X. p.276-279,

[18] Peter Schneider, Juergen Ehlers, Emilio E. Falco, Gravitational Lenses (Astronomy and Astrophysics Library), Springer, 2009. ISBN 978-3-540-66506-9. pp. 123.

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重力ポテンシャル 重力ポテンシャルの概要