三角分布 三角分布の概要

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三角分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/30 08:44 UTC 版)

三角分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$a\in (-\infty ,\infty )$ $b\in (a,\infty )$ $c\in [a,b]$
台	$[a,b]$
確率密度関数	${\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}$
累積分布関数	${\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}$
期待値	${\frac {a+b+c}{3}}$
中央値	${\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}$
最頻値	$c$
分散	${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
歪度	${\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
尖度	$-{\frac {3}{5}}$
エントロピー	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
モーメント母関数	$2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
特性関数	$-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$

$f(x)={\begin{cases}{\cfrac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x<c,\\{\cfrac {2}{b-a}}&\mathrm {for\ } x=c,\\{\cfrac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}$

ここで、パラメータ a は最小値、b は最大値、c は最頻値である。

三角分布の分布関数は

$F(x)={\begin{cases}{\cfrac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x\leq c,\\1-{\cfrac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}$

三角分布の平均 E(X) および分散 V(X) は、

$E(X)={\frac {a+b+c}{3}}$

$V(X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$