ファトゥの補題 ファトゥの補題の概要

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ファトゥの補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/26 04:29 UTC 版)

ファトゥの補題は、ファトゥ・ルベーグの定理や、ルベーグの優収束定理の証明に使うことが出来る。

ファトゥの補題の標準的な内容

f₁, f₂, f₃, . . . を、測度空間 (S,Σ,μ) 上の非負可測関数の列とする。関数 f : S → [0, ∞] を各点毎に

$f(s)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(s),\quad s\in S$

と定義する。このとき f  は可測であり、

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,$

が成立する。

注釈: これらの関数は +∞ の値を取ることも許されており、積分の値も無限となる場合がある。

証明

ファトゥの補題は、次に記載する初めの証明のように、直接的に証明することも出来る。この証明は、Royden（参考文献を見られたい）により発見された証明にさらに手を加えたものである。二つ目の証明はより短いが、単調収束定理を必要とするものである。

直接的な証明

ここでは少し弱い意味での補題の証明を行う。すなわち、f_n が S の部分集合 E 上で μ に関してほとんど至る所収束することも許す。次を示すことを目的とする:

$\int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \,.$

今

$K=\{x\in E|f_{n}(x)\rightarrow f(x)\}$

とする。このとき、μ(E-K)=0 であり、

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{K}f\,d\mu ,\ \ \int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{K}f_{n}\,d\mu \quad \forall n\in \mathbb {N}$

である。したがって、E を K に置き換えることで、f_n が E 上で f へと各点収束すると仮定することが出来る。以下、ルベーグ積分の定義により、f 以下の任意の非負の単関数 φ に対して

$\int _{E}\varphi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu$

が成立することを示せば十分である。

はじめに、$\int _{E}\varphi =\infty$ である場合を考える。a を、φ の非負の値の最小値（そのような値は φ の積分が無限大であることより、必ず存在する）とする。

$A=\{x\in E|\varphi (x)>a\}$

を定義する。

$\int _{E}\varphi \leq M\mu (A),$

であることから、μ(A) は無限大ある。ただし M は φ の到達する（必ず有限な）最大値とする。

$A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.$

を定義すると

$A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty$

を得る。しかし A_n は入れ子状の集合の増加列であるため、μ の下からの連続性により

$\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty$

を得る。同時に

$\int _{E}f_{n}\,d\mu \geq a\mu (A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu =\infty =\int _{E}\varphi \,d\mu ,$

であるため、この場合の主張は証明された。

$\int _{E}\varphi <\infty$ である場合が残されている。このとき μ(A) は有限でなければならない。上述と同様に、M を φ の最大値とし、ε>0 を固定する。今

$A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\varphi (x)~\forall k\geq n\}$

を定義する。このとき、A_n は入れ子状の集合の増加列で、それらの合併は A を含む。したがって、A-A_n は集合の減少列で、それらの共通部分は空である。A は有限測度を持つ（これがこの証明を二つの場合に分けて考えた理由である）ため、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A-A_{n})=0$

を得る。したがって、ある n が存在し

$\mu (A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n$

が成立する。したがって、$k\geq n$ に対して

$\int _{E}f_{k}\,d\mu \geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu$

が成立する。同時に、

$\int _{E}\varphi \,d\mu =\int _{A}\varphi \,d\mu =\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu +\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu$

であるため、

$(1-\epsilon )\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{E}\varphi \,d\mu -\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu$

が得られる。これらの不等式を組み合わせることで

$\int _{E}f_{k}\,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{E}\varphi \,d\mu -\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu \geq \int _{E}\varphi \,d\mu -\epsilon \left(\int _{E}\varphi \,d\mu +M\right)$

が得られる。したがって、ε を 0 とし、n についての下極限を取ることで、

$\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \geq \int _{E}\varphi \,d\mu$

が得られ、証明は完成される。

単調収束定理を用いた証明

すべての自然数 k に対して、各点毎に関数

$g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}$

を定義する。このとき関数列 g₁, g₂, . . . は、すべての k に対して g_k ≤ g_k+1 が成立するという意味で、増加であり、下極限 f へと各点収束する。

すべての k ≤ n に対して、g_k ≤ f_n であるため、積分の単調性により

$\int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \int _{E}f_{n}\,d\mu$

が得られる。したがって、

$\int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{E}f_{n}\,d\mu$

が得られる。第一の不等式に対して単調収束定理を用い、第二の不等式および下極限の定理から、

$\int _{E}f\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{E}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{E}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \,$

が従う。

厳密な不等号が成り立つ例

空間 $S$ にボレルσ-代数とルベーグ測度を備える。

• 確率空間の例: $S=[0,1]$ を単位区間とする。すべての自然数 $n$ に対して

$f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

を定義する。

• 一様収束の例: $S$ をすべての実数からなる集合とし、

$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

を定義する。

これらの関数列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ は $S$ 上で、ゼロ関数へとそれぞれ各点および一様収束する。その積分の値は 0 であるが、各 $f_{n}$ の積分の値は 1 である。