パレート分布 一般化パレート分布

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パレート分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/30 23:45 UTC 版)

一般化パレート分布

一般化パレート分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	位置母数（実数） $\mu \in (-\infty ,\infty )$ 尺度母数（実数） $\sigma \in (0,\infty )$ 形状母数（実数） $\xi \in (-\infty ,\infty )$
台	（ξ ≥ 0 のとき）μ ≤ x （ξ < 0 のとき）μ ≤ x ≤ μ − σ/ξ
確率密度関数	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }})^{-(1/\xi +1)}$
累積分布関数	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }$
期待値	（ξ < 1 のとき） $\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}$
中央値	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
分散	（ξ < 1/2 のとき） ${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}$

一般化パレート分布（英: generalized Pareto distributions, GPD) は、確率変数 X がある閾値を超える確率 P(X > a) を推定する場合のモデルとして使用される。例えば、風速、洪水、震度などが一定値以上となる確率のモデル化などに適用される。この分布は 位置母数 μ、尺度母数 σ、形状母数 ξ の3つのパラメータをもち、ξ をパレート指数と言う。

累積分布関数は次式で表される。

（ただし、形状パラメータを κ = −ξ とする書物もある。）

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }$

台は指数部 $1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\geq 0$ にて制限される。

確率密度関数は

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{(-1/\xi -1)}$

分類

一般化パレート分布 (GPD) は、一般化極値分布 (GEV) と同様3種類に分類される。

• ξ > 0 のとき、パレート分布
• ξ = 0 のとき、指数分布

${\begin{aligned}F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)&=1-\exp \left(-{\frac {(x-\mu )}{\sigma }}\right)\\f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)&={\frac {1}{\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )}{\sigma }}\right)\end{aligned}}$

• ξ < 0 のとき、タイプ2 パレート分布