この項目では、数学の定理について説明しています。このペンネームを持つパズル作家については「東田大志 」をご覧ください。
チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる 定理 三角形 ABCにおいて、任意の点Oをとり、直線 AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式 が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}
証明の方針 証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。
三角形の面積比を使う証明 線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する[3]
A
F
F
B
=
△
A
F
O
△
B
F
O
.
{\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.}
同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、
A
F
F
B
=
△
A
F
C
△
B
F
C
.
{\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.}
この2式より、
A
F
F
B
=
△
A
F
C
−
△
A
F
O
△
B
F
C
−
△
B
F
O
=
△
A
O
C
△
B
O
C
.
{\displaystyle {AF \over FB}={\triangle AFC-\triangle AFO \over \triangle BFC-\triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.}
三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
B
D
D
C
=
△
B
D
O
△
C
D
O
.
{\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.}
同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
B
D
D
C
=
△
B
D
A
△
C
D
A
.
{\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.}
この2式より、
B
D
D
C
=
△
B
D
A
−
△
B
D
O
△
C
D
A
−
△
C
D
O
=
△
B
O
A
△
C
O
A
.
{\displaystyle {BD \over DC}={\triangle BDA-\triangle BDO \over \triangle CDA-\triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.}
三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
C
E
E
A
=
△
C
E
O
△
A
E
O
.
{\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.}
同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
C
E
E
A
=
△
C
E
B
△
A
E
B
.
{\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.}
この2式より、
C
E
E
A
=
△
C
E
B
−
△
C
E
O
△
A
E
B
−
△
A
E
O
=
△
C
O
B
△
A
O
B
.
{\displaystyle {CE \over EA}={\triangle CEB-\triangle CEO \over \triangle AEB-\triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.}
すなわち、定理の左辺は
△
A
O
C
△
B
O
C
⋅
△
B
O
A
△
C
O
A
⋅
△
C
O
B
△
A
O
B
{\displaystyle {\triangle AOC \over \triangle BOC}\cdot {\triangle BOA \over \triangle COA}\cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}}
であるので1に等しい。
メネラウスの定理を使う証明 チェバの定理はメネラウスの定理 を使って容易に証明できる[4]
A
B
B
F
⋅
F
O
O
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AB}{BF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}
が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、
B
A
A
F
⋅
F
O
O
C
⋅
C
D
D
B
=
1.
{\displaystyle {\frac {BA}{AF}}\cdot {\frac {FO}{OC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}=1.}
チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。
逆 チェバの定理の逆 もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
{\displaystyle {AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1}
が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。
