セントログラフィーセントログラフィーの概要

地理学では、点パターン分析（英語版）や認知地図の研究などで利用される^[3]。

平均中心

平均中心は、記述統計学における平均に対応した測度である^[2]。

点 $i$ （ $i=1,2,\cdots ,n$ ）の $x$ 座標および $y$ 座標を $x_{i}$ , $y_{i}$ とするとき、平均中心は式(1)で表される^[2]。

{\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

{\bar {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}

(1)

次に、点に重みがある場合を考える。点 $i$ の重みを $w_{i}$ とするとき、加重平均中心（重心）は式(2)で表される^[2]。

{\bar {X'}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}

{\bar {Y'}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}

(2)

平均中心の具体例として、人口重心が挙げられる^[4]。

標準距離は、平均中心からの距離の標準偏差のことである^[5]。記述統計学における標準偏差に対応した測度で、式(3)で表される^[2]。標準半径と同一である^[6]。

SD={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {X}})}^{2}}{n}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}{(y_{i}-{\bar {Y}})}^{2}}{n}}}}

(3)

点に重みがある場合は、式(4)で表される^[2]。

SD'={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{(x_{i}-{\bar {X'}})}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{(y_{i}-{\bar {Y'}})}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}}

(4)

また、加重平均中心と点 $i$ のユークリッド距離を $d_{i}$ とするとき、式(5)で表現できる^[7]。

SD'={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{d_{i}}^{2}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}

(5)

^ このとき、以下の式が成立する。
$\tan \theta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}{({x_{i}}')^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{({y_{i}}')^{2}}}{2\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}'}}\pm {\frac {\sqrt {{\big \{}{\sum _{i=1}^{n}{({x_{i}}')^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{({y_{i}}')^{2}}{\big \}}^{2}+4{(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}')}^{2}}}}{2\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}'}}$
^ このとき、以下の式が成立する。
$\tan \theta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}{({x_{i}}')^{2}w_{i}}-\sum _{i=1}^{n}{({y_{i}}')^{2}w_{i}}}{2\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}'w_{i}}}\pm {\frac {\sqrt {{\big \{}{\sum _{i=1}^{n}{({x_{i}}')^{2}w_{i}}-\sum _{i=1}^{n}{({y_{i}}')^{2}w_{i}}{\big \}}^{2}+4{(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}'w_{i})}^{2}}}}{2\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}'{y_{i}}'w_{i}}}$
^ Yuill, R. S. 1971. The Standard Deviational Ellipse; An Updated Tool for Spatial Description. Geografiska Annaler: Series B, Human Geography 53: 28-39. doi:10.1080/04353684.1971.11879353
^ Gale, N. 1982. Some Applications of Computer Cartography to the Study of Cognitive Configurations. The Professional Geographer 34: 313-321. doi:10.1111/j.0033-0124.1982.00313.x

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