垂足曲線

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垂足曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/29 22:18 UTC 版)

点Pに対する曲線Cの垂足の幾何学的な構築

垂足曲線（すいそくきょくせん、英: pedal curve）は、曲線の接線に対する、固定された点の直交射影が成す曲線である。より正確に言えば、平面曲線Cと点P （Pedal point）について、Pを通るCの接線の垂足（接線と垂線の交点）Xの軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線C上の任意の点Rで接する接線Tのある垂線が、ある点Pを通るなら、その接線の垂足は垂足曲線を成す。

垂足曲線を補完するために、四角形PXRYが長方形となるように点Yを取る。点Yの軌跡はcontrapedal curveと呼ばれる。

曲線のorthotomicは、Pを拡大の中心として垂足を2倍に拡大した曲線である。これは、Pを接線Tで鏡映した点の軌跡である。

垂足曲線は、曲線C_nの垂足曲線をC_n+1として、C₀,C₁,C₂,C₃...と定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、C_nをC₀の n th positive pedal curveという。逆にC₀はC_nのn番目の負垂足線 （nth negative curve） または逆垂足曲線と呼ばれる。

方程式

直交座標によるアプローチ

Pを原点とする。また、曲線CをF(x, y)=0とする。C上の点R=(x₀, y₀)の接線は次の形で書くことができる。

$\cos \alpha x+\sin \alpha y=p$

楕円（黒）の垂足曲線（赤）。楕円はa=2,b=1で垂足曲線は4x²+y²=(x²+y²)²。

例として、楕円の垂足曲線を挙げる。楕円の方程式は次の式で表される。

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

同じ楕円のContrapedal curve

楕円のエボリュート曲線の垂足曲線。楕円のcontrapedal curveと一致する。

${\vec {v}}=P-R$

蝸牛形 - 円の垂足曲線

Cが円であるとき、上記の議論から蝸牛形は以下の様な定義ができる。

• 円の垂足曲線。
• ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
• 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
• 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

例

有名な曲線の垂足曲線を挙げる。

曲線	方程式	垂足点	垂足曲線
円		円周上の点	カージオイド
円		任意の点	蝸牛形（リマソン）
放物線		焦点	頂点における接線
放物線		頂点	ディオクレスのシッソイド
デルトイド		中心	Trifolium
楕円または双曲線		焦点	副円