多重集合
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数学における多重集合（たじゅうしゅうごう、multiset）あるいはバッグ（bag; かばん）は、集合に同じ値の元がいくつも含まれるとき、各元がそれぞれいくつ含まれるかという重複度を考え合わせた集合概念である。非順序対、非順序組 (unordered tuple) ともいう[注釈 1]。
- ^ 文脈によっては集合のことを非順序対 (unordered pair) などと呼ぶこともある。特に、x ≠ y のときの {x, y} を非順序対と呼ぶときは、これが集合であると理解しても多重集合であると理解しても論理的には同じである（x = y のときは差異が認められる）。
- ^ 中抜き太字の類例だが、重ね打ち (double struck) で表すときは間が広いと「集合の集合」と紛らわしい。
- ^ このような外延的記法での例を挙げると、集合なのになぜか多重集合のようではないか、不自然だといったようなことを考える向きもあるだろうが、内包的記法が多用される数学の文脈では（それを外延的に書き直すと）このような例は実際に頻繁に遭遇することであり、このように規約を設けることには便宜上も意味のあることである。簡単な例で言えば、偶数の集合 2Z = {2n | n は整数} と 4 の倍数の集合 4Z = {4n | n は整数} の和集合はもちろん偶数の集合だが、2Z ∪ 4Z = {x | x = 2n または x = 4m (n, m は整数)} の右辺には 4 の倍数が 2 回ずつ現れている。
- ^ この記法は（特に添字集合が明らかであるとして省略するとき）数列を表す慣習的な記法 {an} と紛らわしい。
- ^ 二項係数が初等組合せ論において組合せ (choose) に関係することのアナロジーで、多重集合係数を "multichoose" と呼ぶこともある[19]。しかし、二項係数の場合と異なり、多重集合係数に対する組合せ論的な多項式展開定理（いわば「多重集合定理」）は知られていない。またそのため、多項定理に現れる多項係数（これは多重集合係数とは直接的には関係ない）と混同の虞は無いであろう。
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