有限ベクトル空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/08 14:40 UTC 版)
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線型代数学における有限ベクトル空間（ゆうげんベクトルくうかん、英: finite vector space）は、濃度が有限（つまり有限集合）なベクトル空間を言う—そのような空間は（零ベクトル空間を除けば）有限体上の有限次元ベクトル空間に他ならない[注釈 1]。有限ベクトル空間の基底の総数や部分空間の総数などを求めることは組合せ論に属する問題である。有限ベクトル空間上の線型代数学は有限体の分類に有効な道具立てを与える。線型符号には有限ベクトル空間の概念が応用されている。
準備
E は体 𝕂 上のベクトル空間とする。E ≠ {0} ならば、𝕂 は適当な u ∈ E の生成する一次元部分空間 𝕂u に等濃 である—これらの間の全単射は 𝕂 に属する各スカラー k を u の左スカラー k-倍 ku に写す写像で与えられる。ゆえに E が有限ならば 𝕂 も有限であり、また含むベクトルの数が有限となるには E は 𝕂 上有限次元でなければならない。
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