羊飼いの補題とは？わかりやすく解説

数学における羊飼いの補題（ひつじかいのほだい、仏: lemme des bergers）または羊飼いの原理 (principe des bergers^[1]^{[注釈 1]}) は組合せ論的性質である。

初等的に述べれば

羊飼いの補題 ― 集合 $E$ がそれぞれ $r$ 個の元を持つ $p$ 個の部分集合に分割されるならば、 $E$ は $p \times r$ 個の元を持つ。

名称 «lemme des bergers» は次のような状況を表している: 「羊の脚しか見ていない羊飼いは、脚の数を4で割ると羊の頭数が分かる。」^[3].

$E$ の元の数が既知で、 $p$ または $r$ のうち一方はわかっているが他方は分からないという状況のとき、補題を適用すれば、 $p$ または $r$ のうち分かっていなかった残りの数を知ることができる（それには、 $E$ の元の数を $p$ または $r$ の分かっている方で割れば十分である）。

より抽象的かつ一般な形で述べれば以下のようになる: ただし、 $ƒ -1 ({y})$ は、元 $y$ の写像 $ƒ$ に沿った原像とする

羊飼いの原理^[1] ― 集合 $X$ および $Y$ が与えられ、それらの濃度がそれぞれ $𝔞$ および $𝔟$ であるとする。このとき全射 $ƒ : X \to Y$ が存在して、どの $y \in Y$ に対しても $ƒ -1 ({y})$ が同じ濃度 $𝔠$ を持つならば、 $𝔞 = 𝔟𝔠$ である。

注

[ヘルプ]

注釈

^ [訳注] ブルバキの翻訳された英語版(とおそらく日本語版も^[要出典])にはこの補題に対して特に固有の名称が付記されていない^[2]。

出典

^ ^a ^b N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], partie III, §5, n^o 8, proposition 9, p. III.41
^ N. Bourbaki, Elements of mathematics: Theory of Sets, p. 179, - Google ブックス
^ J.-P. Marco および al., Mathématiques L1: Cours complet avec fiches de révision, Pearson,‎ 2013 (lire en ligne), p. 98.

羊飼いの補題とは？わかりやすく解説

羊飼いの補題

目次

注

注釈

出典

関連項目

「羊飼いの補題」の関連用語

羊飼いの補題とは？ わかりやすく解説

羊飼いの補題

目次

注

注釈

出典

関連項目

急上昇のことば

「羊飼いの補題」の関連用語

羊飼いの補題とは？わかりやすく解説