空和

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空和

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/06 01:34 UTC 版)

空和（くうわ、英語: empty sum）または零項和（れいこうわ、英語: nullary sum）とは、項数が0個であるような和（加法）をいう。数学では規約として、数の空和は 0 に等しい（より一般には、和を定義している対象の零元に等しい）と約束することが標準的である。

定義

添字集合が空になる和、あるいは条件が常に偽となって加える項が一つも存在しない和を空和という。例えば $\sum _{1\leq n\leq 0}n$ や $\sum _{1\leq i<j\leq 1}2^{i}3^{j}$ は、いずれも条件を満たす項が存在しないため空和である。

数の場合、空和の値は

• $\sum _{\varnothing }(\cdots )=0$

と定めるのが一般的である。

一般化

和が数に限らず、ベクトル・行列・多項式など（加法が定義された対象）に値をとる場合にも空和は定義できる。一般に、加法が定義された対象では空和はその加法単位元（零元）に等しいものとして扱う。

空和を定義する理由

空和を 0（あるいは零元）と定める主な理由は、既存の公式・再帰関係・アルゴリズムが「端点」でも自然に成立し、場合分けが減ることにある。

数列の部分和（再帰式の整合性）

数列 $a_{1},a_{2},\dots$ の最初の $m$ 項の和を $s_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}$ とおくと、通常 $s_{m}=s_{m-1}+a_{m}$ が成り立つ。これを $m=1$ の場合にも同じ形で成立させるには、 $s_{0}$ を空和として $s_{0}=0$ と置くのが自然である。

帰納法・アルゴリズムの起点

空和を許すと、数学的帰納法の基底や、和を逐次計算する手続（「たたみ込み」など）の初期値を統一的に扱える。

線型代数における例（空線型結合）

線型代数学では、線型結合を有限和として定義するが、規約として「空線型結合（0項の線型結合）は零ベクトルに等しい」とする。これにより $\mathrm {span} (\varnothing )$ が零部分空間になるなど、定義や命題を統一的に述べられる。

関連項目

• 空積（空積は乗法単位元 1 に等しいと約束する）
• 空集合
• 空虚な真

参考文献

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 ed.). Addison-Wesley. pp. 24. https://api.pageplace.de/preview/DT0400.9780134389967_A26625862/preview-9780134389967_A26625862.pdf 2026年3月6日閲覧。 
• Nathanson, Melvyn B.. “Elementary Methods in Number Theory”. blngcc.wordpress.com. pp. Notation and Conventions, p.9. 2026年3月6日閲覧。
• Penneys, David. “Linear Algebra (lecture notes)”. people.math.osu.edu. pp. Definition 2.2.1–Examples 2.2.3 (p.23). 2026年3月6日閲覧。