空なる合併
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 07:33 UTC 版)
「空和,Lattice論,空な交叉」も参照 集合 X {\displaystyle X} に対して， P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} を X {\displaystyle X} の冪（ベキ）集合とする．全体集合 U を固定し、∪∅ を考えると、定義により ⋃ ∅ = ⋃ A ∈ ∅ A = { x ∈ U ∣ ∃ A ∈ ∅ : x ∈ A } = { x ∈ U ∣ ( ∃ A ∈ P ( U ) ) [ A ∈ ∅ ⏟ false & x ∈ A ] } = ∅ {\displaystyle \bigcup \varnothing =\bigcup _{A\in \varnothing }A=\{x\in U\mid {}^{\exists }A\in \varnothing :x\in A\}=\{x\in U\mid ({}^{\exists }A\in {\mathcal {P}}(U))[\underbrace {A\in \varnothing } _{\text{false}}\ \&\ x\in A]\}=\varnothing } となる。ここで，最初の空集合と最後の空集合はニュアンスが違う（後者は単なる空集合だが前者は属する集合がない集合族）．なお最後の等号は「条件を満たす x ∈ U が存在しない」ということから従う。なお、∩ の場合も、その定義により ∩∅ = U がわかる。
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