閉包作用素による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:28 UTC 版)
「位相の特徴付け」の記事における「閉包作用素による定義」の解説
詳細は「閉包作用素」を参照 対象 集合 X とその上の閉包作用素 cl との組 (X, cl) （閉包空間）のすべて。閉包作用素 cl: P(X) → P(X) とは、クラトフスキーの閉包公理拡張性質: A ⊆ cl(A), 冪等性: cl(cl(A)) = cl(A), 和の保存: cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B), 空和の保存: cl(∅) = ∅ を満足するものをいう。 射 閉包を保存する写像すべて。閉包を保つとは、二つの閉包空間の間の写像 f : ( X , cl ) → ( X ′ , cl ′ ) {\displaystyle f\colon (X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')} が、X の任意の部分集合 A に対して f ( cl ( A ) ) ⊂ cl ′ ( f ( A ) ) {\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))} を満たすことをいう。 クラトフスキーの閉包公理は、位相空間上の閉包作用素（部分集合にその位相的閉包を割り当てる写像）の性質を抽象化したものである。この位相的な閉包作用素は圏論において一般化される。 (Koslowsk and Melton) の G. Castellini による Categorical Closure Operators を参照。
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