ツェルメロ集合論

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ツェルメロ集合論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 22:04 UTC 版)

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ツェルメロ集合論（ツェルメロしゅうごうろん、英: Zermelo set theory、時々 Z^- と表記される）とは、1908年にエルンスト・ツェルメロの影響力のある論文から始まった、現代のツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）やその拡張であるフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG）などの始祖である。ツェルメロ集合論は、その後継の集合論とは特定の違いがあるものの、必ずしも理解されているわけではなく、頻繁に誤って引用されている。この記事では原文の公理について、（日本語に訳した）原文のテキストと原文の番号付けで説明を始める。

ツェルメロ集合論の公理

ツェルメロ集合論の公理の言明の対象のうち、いくつかは集合に対する言明であり（ただし必ずしもすべてではない）、それ以外はアトム(urelement)や集合以外に対する言明である。ツェルメロの言語では暗黙的に帰属関係 ∈、等号関係 = （背景の論理に含まれていないならば）、そして対象が集合であるかどうかを述べる単項述語が含まれる。新しい版の集合論では、アトムをなくし単項述語が不要になるように、しばしばすべての対象が集合であることを仮定する。

1. 公理 I. 外延性の公理 (Axiom der Bestimmtheit) 「集合 M のすべての要素が集合 N の要素でもあり、逆も成り立てば、M ${\displaystyle \equiv }$ カテゴリ