フォン・マンゴルト関数

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フォン・マンゴルト関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 01:55 UTC 版)

フォン・マンゴルト関数（フォン・マンゴルトかんすう、英: von Mangoldt function）は数論における関数である。ドイツの数学者ハンス・フォン・マンゴルトに因んで名付けられた。これは、乗法的でも加法的でもない重要な算術関数の例である。

定義

Λ（n）で表されるフォン・マンゴルト関数は、次のように定義される。

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

ハーディとリトルウッドは級数の極限 y → 0⁺ を調べた

$F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}$

フォン・マンゴルト関数を近似するリーマンゼータ零点の総和による波

リーマンゼータ関数の零点を渡る総和の実部について考える。

$-\sum _{i=1}^{\infty }n^{\rho (i)}$

フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータの零点の虚数部のスペクトルを、対応する x 座標のスパイクとして与える（右）。一方、フォン・マンゴルト関数はリーマンゼータの零点の波で近似できる（左）。

フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータ関数の零点の虚数部に等しい座標にスパイクのあるスペクトルを与える。これは、二重性と呼ばれることがある。

関連項目

• 素数計数関数

脚注

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H.. eds. An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243. Zbl 1159.11001 

• Tenebaum, Gérald C.B. Thomas訳 (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 

外部リンク

• Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
• S.A. Stepanov (2001), “Mangoldt function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/m/m062200.htm 
• Chris King, Primes out of thin air (2010)
• Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)