列型空間
数学の位相空間論関連分野における列型空間（れつけいくうかん、れつがたくうかん、英: sequential space; 列状空間、列性空間）とは、開集合と閉集合が点列の収束で特徴づけられる位相空間のことである。この空間上で定義された関数の連続性もまた、点列の収束性で特徴づけられる。しかし列型空間であっても閉包の概念は点列の収束で特徴づけられるとは限らず、これが可能な列型空間をフレシェ・ウリゾーン空間という。
位相空間が列型空間である必要十分条件はその空間が第一可算公理を満たす空間の商空間となることである。
空間にこうした可算性に関する条件が必要となるのは点列の概念がそもそも可算な全順序列として定義されているからであり、点列から可算性と全順序性の束縛を外した概念である有向点族の概念を用いれば空間に仮定を置くことなく収束で位相構造を特徴づけられる。
任意の列型空間は可算緊密性を持つ。
定義
以下 X を位相空間とする。
- X の部分集合 U が点列開 (sequentially open) であるとは、U 内の点に収束する X 内の各点列 (xn) が U にほとんど含まれる (eventually in) ときに言う。即ち、適当な自然数 N が存在して、xn ∈ U が n ≥ N なるすべての自然数 n に対して成り立つ。
- X の部分集合 F が点列閉 (sequentially closed) であるとは、F 内の点列 (xn) が何らかの点 x に収束する限りにおいて必ず、その極限点 x は F に属することを言う。
点列開集合の補集合は点列閉であり、逆もまた成り立つ。X における任意の開集合は点列開であり、また任意の閉集合は点列閉であるが、逆は一般には正しくない。
列型空間は以下の同値な条件のうちの一つ、従って全部を満たす空間 X をいう。
- X の任意の点列開集合は開である。
- X の任意の点列閉集合は閉である。
列閉包
位相空間 X の部分集合 A が与えられたとき、A の列包あるいは列閉包 (sequential closure) [A]seq とは
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