命題関数 （めいだいかんすう、英 ：Propositional function） とは、数理論理学 において、各変数 の変域と終集合とがそれぞれ「真な命題」と「偽な命題」のみから成る、集合 に等しいような写像 である。命題関数は真理関数 でもある。
定義 命題関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。
真な命題 を表す記号 ：
⋎
{\displaystyle \curlyvee }
偽な命題 を表す記号 ：
⋏
{\displaystyle \curlywedge }
L0 を
⋎
{\displaystyle \curlyvee }
⋏
{\displaystyle \curlywedge }
D を固定された空でない 1 つの集合とする。そのとき、n 個の D の直積
∏
i
=
1
n
D
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}D}
L0 への写像を n 変数の命題関数 という。命題関数をまた述語 、性質 、条件 ともいう。n 変数の命題関数をまた n 項関係 D を議論領域 D の各元を対象 という。
例 議論領域 D は自然数 全体から成る集合に等しいとする。また、集合 L0 において、真理関数 ￢、∨ が定義されているとする。
D から L0 への写像 F を次の等式で定義すれば、F は 1 変数の命題関数となる。
F
(
n
)
=
{
⋎
if
n
is prime
⋏
otherwise
{\displaystyle F(n)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is prime}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
D×D から L0 への写像 G を次の等式で定義すれば、G は 2 変数の命題関数となる。
G
(
n
,
m
)
=
{
⋎
if
n
is less than
m
⋏
otherwise
{\displaystyle G(n,m)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is less than }}m\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
2 項関係 R(n，m) をしばしば nRm と書く。従って、上の G(n，m) を nGm と書いても良い。
D×D の各元 (n，m) に対して L0 の元 (￢G(n，m))∨G(n，m) を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。
限定作用素 F(x) を 1 変数の命題関数とするとき、命題 ∀xF(x) と ∃xF(x) とは以下の等式で定義される。
∀
x
F
(
x
)
=
{
⋎
if
F
(
x
)
=
⋎
is an identity
⋏
otherwise
{\displaystyle \forall xF(x)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}F(x)=\curlyvee {\mbox{ is an identity}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
∃
x
F
(
x
)
=
{
⋏
if
F
(
x
)
=
⋏
is an identity
⋎
otherwise
{\displaystyle \exists xF(x)={\begin{cases}\curlywedge &{\mbox{if }}F(x)=\curlywedge {\mbox{ is an identity}}\\\curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
∀x 、∃x をそれぞれ全称作用素 、存在作用素 といい、それらをまとめて限定作用素 という。∀、∃ をそれぞれ全称記号 存在記号 ∀xF(x) は 「 全ての対象 x に対して F(x) が成り立つ 」 を意味し、命題 ∃xF(x) は 「 F(x) を満たす対象 x が ( 少なくとも 1 つ ) 存在する 」 を意味する。
例 議論領域 D は整数全体から成る集合に等しいとする。
1 変数の命題関数 F(n) を次の等式で定義する。
F
(
n
)
=
{
⋎
if
n
is even
⋏
otherwise
{\displaystyle F(n)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
F(1) =
⋎
{\displaystyle \curlyvee }
F(n) =
⋎
{\displaystyle \curlyvee }
恒等式 でない。よって、∀nF(n) =
⋏
{\displaystyle \curlywedge }
F(2) =
⋏
{\displaystyle \curlywedge }
F(n) =
⋏
{\displaystyle \curlywedge }
∃nF(n) =
⋎
{\displaystyle \curlyvee }
関連項目 参考文献 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。 
