Lp 空間における優収束（系）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/22 10:58 UTC 版)
「優収束定理」の記事における「Lp 空間における優収束（系）」の解説
( Ω , A , μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} を測度空間とし、p を 1 以上の実数とし、{fn} を A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -可測関数 f n : Ω → R ∪ { ∞ } {\displaystyle f_{n}\colon \Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}} からなる関数列とする。 関数列 {fn} は、μ に関してほとんど至る所である A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -可測関数 f に収束し、ある g ∈ Lp によって支配される、すなわち、すべての自然数 n に対して |fn ≤ g が μ に関してほとんど至る所で成立する、ということを仮定する。 このとき、すべての fn および f は Lp に属し、関数列 {fn} は Lp の意味において f へと収束する。すなわち lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ p = lim n → ∞ ( ∫ Ω | f n − f | p d μ ) 1 / p = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}=0} が成立する。 証明のアイデア: 関数列 h n = | f n − f | p {\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}} と、それを支配する関数 ( 2 g ) p {\displaystyle (2g)^{p}} に対して、元の定理を適用すれば良い。
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