Lebesgue–Nagell 方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/30 05:52 UTC 版)
「ラマヌジャン・スコーレムの定理」の記事における「Lebesgue–Nagell 方程式」の解説
一般に、任意の整数 A, D に対して、不定方程式 x 2 + D = A y n {\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}} の整数解 x, y, n の個数は有限個で、原理的に計算可能である。M. Lebesgue （アンリ・ルベーグとは別人）は1850年に x 2 + 1 = y n {\displaystyle x^{2}+1=y^{n}} の整数解は x = 0, y = 1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue–Nagell 方程式とよぶ。フェルマーの最終定理の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を A = 1, 1 ≤ D ≤ 100 に対して解いた。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式 x 2 + 7 = y n , n > 1 {\displaystyle x^{2}+7=y^{n},n>1} の自然数解は x = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。
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