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ルベーグの分解定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/05 09:11 UTC 版)

数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、英: Lebesgue's decomposition theorem）^[1]^[2]^[3]とは、ある可測空間 $(\Omega ,\Sigma )$ 上のすべての二つのσ-有限（英語版）な符号付測度 $\mu$ および $\nu$ に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 $\nu _{0}$ および $\nu _{1}$ が存在することを述べた定理である。

$\nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,$
$\nu _{0}\ll \mu$ （すなわち、 $\nu _{0}$ は $\mu$ に関して絶対連続）
$\nu _{1}\perp \mu$ （すなわち、 $\nu _{1}$ と $\mu$ は特異的）

これら二つの測度は、 $\mu$ および $\nu$ によって一意的に定められる。

改良

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる^[4]。

\,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }

但し

ν_cont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
ν_sing は特異連続（singular continuous）な部分
ν_pp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

引用

^ (Halmos 1974, Section 32, Theorem C)
^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.42) Lebesque Decomposition Theorem)
^ (Rudin 1974, Section 6.9, The Theorem of Lebesgue-Radon-Nikodym)
^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.61) Theorem)

参考文献

Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics, 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR0033869, Zbl 0283.28001
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Graduate Texts in Mathematics, 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR0188387, Zbl 0137.03202
Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR0344043, Zbl 0278.26001