L∞(μ) の双対空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/19 10:16 UTC 版)
Σ が σ-代数を成し、かつ μ が Σ 上の σ-加法的正測度であるとき、 L∞(μ) に本質的上限ノルムを入れたものは、定義により、B(Σ) を有界 μ-零函数全体の成す閉部分空間 N μ := { f ∈ B ( Σ ) : f = 0 , μ -almost everywhere } {\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0,\,\mu {\text{-almost everywhere}}\}} N μ ⊥ = { σ ∈ b a ( Σ ) : μ ( A ) = 0 ⟹ σ ( A ) = 0 for any A ∈ Σ } {\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\implies \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \}} に同型である。これはすなわち、μ に関して絶対連続（以下、簡略化のため μ-a.c. と書く）な Σ 上の有限加法的符号付測度の空間である。 測度空間がさらに σ-有限ならば、L∞(μ) は L1(μ) の双対となる。後者の空間は、ラドン–ニコディムの定理より、すべての可算加法的 μ-a.c. 測度の集合となる。言い換えると、二重双対に関する次の包含 L 1 ( μ ) ⊂ L 1 ( μ ) ∗ ∗ = L ∞ ( μ ) ∗ {\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}} は、すべての有限加法的 μ-a.c. 有界測度の空間の内側に可算加法的 μ-a.c. 有界測度の空間が含まれるという包含と同型である。
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