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有効ポテンシャル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/26 05:02 UTC 版)

有効ポテンシャル（英語: effective potential）または有効ポテンシャル・エネルギー（有効位置エネルギー、effective potential energy）は、（相反する可能性のある）複数の効果を単一のポテンシャルにまとめたものである。基本的には、力学系の位置エネルギーと遠心力による位置エネルギーとの和である。

惑星軌道の古典論的・ニュートン的決定や半古典的な原子計算に用いられ、複雑な系の問題をより低次にできる場合がある。

定義

有効ポテンシャルのグラフ。E > 0:：双曲線軌道 (周辺中心として A₁ )、E = 0:：放物線軌道 (周辺中心として A₂ )、E < 0：楕円軌道 (周辺中心として A₃、中心として A₃')、E = E_min ：円軌道 (半径としてA_{4 )。}点A₁, ..., A₄はturning pointと呼ばれる。

ポテンシャル $U_{\text{eff}}$

回転する2つの天体の有効ポテンシャルの成分：（上）重力ポテンシャルの合成、（下）重力と回転の合成ポテンシャル

質量mの粒子が質量Mのもっと重い物体の周りを回っていると考える。古典力学、非相対論的ニュートン力学を仮定する。エネルギーと角運動量の保存は、2つの定数 E と L を与え、その値は、

Visualisation of the effective potential in a plane containing the orbit (grey rubber-sheet model with purple contours of equal potential), the Lagrangian points (red) and a planet (blue) orbiting a star (yellow)

E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},

L=mr^{2}{\dot {\phi }}

であり、大きい方の物体の質量の運動が無視できる場合である。ここで、

${\dot {r}}$ は、r の時間微分、
${\dot {\phi }}$ は、m の角速度、
G は重力定数、
E は全エネルギー、
L は角運動量

である。この運動は平面上で起こるので、必要な変数は2つだけである。2番目の式を1番目の式に代入し、並べ替えると次のようになる。

m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),

{\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),

ここで、

U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}

が有効ポテンシャルである^{[Note 1]}。元の2変数問題は、1変数問題に還元された。例えば、有効ポテンシャルを用いたエネルギー線図から、転回点、安定・不安定平衡の位置などを求めることができます。同様の方法は、例えば一般相対論的なシュワルツシルト計量における軌道の決定など、他の用途でも使われることがある。

有効ポテンシャルは、Gauss-core potential (Likos 2002, Baeurle 2004) や Screened Coulomb potential (Likos 2001) など、様々な物性分野で広く用いられている。