ベールイの定理
ベールイの定理（ベールイのていり、英: Belyi's theorem）とは、代数的数を係数として定義された任意の非特異代数曲線 C は、リーマン球面上3点のみで分岐する分岐被覆となるようなコンパクト・リーマン面であるという定理である。
この定理はゲンナジー・ウラジーミロヴィチ・ベールイによって1979年に証明された。 当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった。
人名のBelyi（露: Белый）はベールイとカナ表記されることもあれば[1]、数学の文献においてベリーとカナ表記されることもある[2]。
上半平面の商
ベールイの定理から、考えているリーマン面は商空間
- H/Γ
を尖点でコンパクト化したものと同型となることがわかる。ここで、H は上半平面、 Γ はモジュラー群の有限指数部分群である。 モジュラー群は非合同部分群を持つので、これは定理の曲線がモジュラー曲線となることを意味しない。
ベールイ関数
コンパクト・リーマン面 S からリーマン球面 P1(C)への正則写像であって、3点のみで分岐するものをベールイ関数と言う。メビウス変換と合成することにより、この3点は
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