Beltrami–Kleinモデルとアインシュタイン可算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/08 21:20 UTC 版)
「ジャイロベクトル空間」の記事における「Beltrami–Kleinモデルとアインシュタイン可算」の解説
相対論的速度は双曲幾何学におけるBeltrami–Kleinモデルの点とみなすことができ、Beltrami-Kleinモデルにおけるベクトルの加算はVelocity-addition formulaによって与えられる。 この公式を4次元以上の双曲空間におけるベクトルの加算に一般化するためには、クロス積の使用を避けてドット積で公式を記述する必要がある。 一般の場合、速度 u {\displaystyle \mathbf {u} } , v {\displaystyle \mathbf {v} } のアインシュタイン加算を座標軸に依存しない形で書くと次のようになる。 u ⊕ E v = 1 1 + u ⋅ v c 2 { u + 1 γ u v + 1 c 2 γ u 1 + γ u ( u ⋅ v ) u } {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}} ここで γ u {\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }} はローレンツ因子であり、 γ u = 1 1 − | u | 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}} で与えられる。 同じ式を座標の形で書くと次のようになる。 ( w 1 w 2 w 3 ) = 1 1 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 c 2 { [ 1 + 1 c 2 γ u 1 + γ u ( u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) ] ( u 1 u 2 u 3 ) + 1 γ u ( v 1 v 2 v 3 ) } {\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}} ここで、 γ u = 1 1 − u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}} である。 アインシュタイン加算は u {\displaystyle \mathbf {u} } と v {\displaystyle \mathbf {v} } が平行であるときのみ 可換かつ結合的である。実際、 u ⊕ v = g y r [ u , v ] ( v ⊕ u ) {\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )} かつ u ⊕ ( v ⊕ w ) = ( u ⊕ v ) ⊕ g y r [ u , v ] w {\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} } が成り立つ。ここで、"gyr"は Thomas precession をThomas gyrationというオペレータに抽象化したものであり、各 w に対して g y r [ u , v ] w = ⊖ ( u ⊕ v ) ⊕ ( u ⊕ ( v ⊕ w ) ) {\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))} で与えられる。Thomas precessionは双曲幾何学において負のhyperbolic triangle defectとしての表現を持つ。
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