8. べき集合公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「8. べき集合公理」の解説
詳細は「冪集合公理」を参照 定義上、集合 z {\displaystyle z} のすべての元が集合 x {\displaystyle x} の元であるとき、またそのときに限って、 z {\displaystyle z} は x {\displaystyle x} の部分集合である。 ( z ⊆ x ) ⇔ ( ∀ q ( q ∈ z ⇒ q ∈ x ) ) {\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x))} べき集合公理は、任意の集合 x {\displaystyle x} について、 x {\displaystyle x} のすべての部分集合を含む集合 y {\displaystyle y} が存在することを主張する： ∀ x ∃ y ∀ z [ z ⊆ x ⇒ z ∈ y ] {\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]} 次に分出公理を使用して、厳密に x {\displaystyle x} の部分集合を含む、このような y {\displaystyle y} の部分集合としてべき集合 P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} を定義する： P ( x ) = { z ∈ y : z ⊆ x } . {\displaystyle P(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.} 公理1〜8でZFを定義できる。これらの公理の異なる形もしばしば見かけるが、いくつかはJech (2003)に列挙されている。一部のZF公理系には、空集合の存在を主張する公理が含まれている。対、和集合、置換、およびべき集合の公理は、存在を主張する集合 x {\displaystyle x} の元（対の集合、和集合、置換集合、べき集合）を集合 x {\displaystyle x} が含むという形で表現される。
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