電気双極子による場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/25 05:18 UTC 版)
位置 r にある電気双極子 p による電荷密度は ρ ( x ) = lim δ → 0 { q δ 3 ( x − r + ) − q δ 3 ( x − r − ) } = − p ⋅ grad δ 3 ( x − r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\boldsymbol {x}})&=\lim _{\delta \to 0}{\Big \{}q\,\delta ^{3}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{+})-q\,\delta ^{3}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{-}){\Big \}}\\&=-{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} \delta ^{3}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})\\\end{aligned}}} となる。複数の電気双極子 pi が位置 ri に分布しているとき、重ね合わせの原理により ρ ( x ) = − ∑ i p i ⋅ grad δ 3 ( x − r i ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})=-\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}\cdot \operatorname {grad} \delta ^{3}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i})} となる。 電荷密度 ρ の畳み込みで表される場 F ( x ) = ∫ ρ ( y ) K ( x − y ) d 3 y {\displaystyle F({\boldsymbol {x}})=\int \rho ({\boldsymbol {y}})\,K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,d^{3}y} は、電気双極子によるときは F ( x ) = − ∫ K ( x − y ) p ⋅ grad δ 3 ( y − r ) d 3 y = − ∫ p ⋅ grad K ( x − y ) δ 3 ( y − r ) d 3 y − ∮ ( p ⋅ n ) K ( x − y ) δ 3 ( y − r ) d S = − p ⋅ grad K ( x − r ) + (boundary term) {\displaystyle {\begin{aligned}F({\boldsymbol {x}})&=-\int K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} \delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,d^{3}y\\&=-\int {\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,\delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,d^{3}y-\oint ({\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {n}})\,K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,\delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,dS\\&=-{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})+{\text{(boundary term)}}\\\end{aligned}}} となり、双極子が有限の領域に分布しているならば境界項はなくなり F ( x ) = − p ⋅ grad K ( x − r ) {\displaystyle F({\boldsymbol {x}})=-{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})} が得られる。 例えば、電気双極子による静電ポテンシャルは ϕ ( x ) = − 1 4 π ϵ 0 p ⋅ grad 1 | x − r | = 1 4 π ϵ 0 p ⋅ ( x − r ) | x − r | 3 {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} {\frac {1}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}|^{3}}}} となる。
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