開集合の昇鎖

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開集合の昇鎖

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 22:29 UTC 版)

「基底 (位相空間論)」の記事における「開集合の昇鎖」の解説

上記の概念を用いて、適当な超限基数 κ に対して w(X) ≤ κ であるものと仮定する。このとき、長さが κ+ 以上になる開集合の真の増加列は存在しない（同じことだが、閉集合の真の増加列も存在しない）。 これを（選択公理抜きに）確認するには、開基 (Uξ)ξ∈κ を固定して、結論に反して (per contra) (Vξ)ξ∈κ+ が開集合の真の増加列であるものと仮定する。これは 任意の α < κ+ に対して Vα ∖ ∪ξ<α Vξ が空でないという意味である。x ∈ Vα ∖ ∪ξ<α Vξ をとると、先ほど固定した基底を活用して適当な Uγ で x ∈ Uγ ⊆ Vα となるものを見つけることができる。この方法で写像 f: κ+ → κ を、各 α を Uγ ⊂ Vα かつ Uγ が Vα ∖ ∪ξ<α Vξ と交わりを持つような最小の γ へ写すものとして矛盾なく定義できる。この写像が単射であることが確かめられる（さもなくば、α < β で f(α) = f(β) = γ となるものが存在し、そこからさらに Uγ ⊆ Vα かつ Vβ ∖ ∪ξ<α ⊆ Vβ ∖ Vα と交わることが従うが、これは矛盾である）が、これは κ+ ≤ κ を示すこととなり矛盾である。