長波長極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/25 03:28 UTC 版)
まず長波長極限( q → 0 {\displaystyle q\to 0} )を考える。リンドハード公式の分母について、 E k − q − E k = ℏ 2 2 m ( k 2 − 2 k → ⋅ q → + q 2 ) − ℏ 2 k 2 2 m ≃ − ℏ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}} , また分子について、 f k − q − f k = f k − q → ⋅ ∇ k f k + ⋯ − f k ≃ − q → ⋅ ∇ k f k {\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}} . これらをリンドハード公式に代入し、極限 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} をとると、 ϵ ( 0 , ω 0 ) ≃ 1 + V q ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ ω 0 − ℏ 2 k → ⋅ q → m ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ( 1 + ℏ k → ⋅ q → m ω 0 ) ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ k → ⋅ q → m ω 0 = 1 − V q q 2 m ω 0 2 ∑ k f k = 1 − V q q 2 N m ω 0 2 = 1 − 4 π e 2 ϵ q 2 L 3 q 2 N m ω 0 2 = 1 − ω p l 2 ω 0 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\end{alignedat}}} ここで E k = ℏ ω k {\displaystyle E_{k}=\hbar \omega _{k}} 、 V q = 4 π e 2 ϵ q 2 L 3 {\displaystyle V_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}} 、 ω p l 2 = 4 π e 2 N ϵ L 3 m {\displaystyle \omega _{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{\epsilon L^{3}m}}} を用いた。 （SI単位では因子 4 π {\displaystyle 4\pi } を 1 / ϵ 0 {\displaystyle 1/\epsilon _{0}} に置き換わる） この結果は古典的な誘電関数と同様である。
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長波長極限
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まず長波長極限 ( q → 0 {\displaystyle q\to 0} )を考える。リンドハード公式の分母について、 E k − q − E k = ℏ 2 2 m ( k 2 − 2 k → ⋅ q → + q 2 ) − ℏ 2 k 2 2 m ≃ − ℏ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}} , また分子について、 f k − q − f k = f k − q → ⋅ ∇ k f k + ⋯ − f k ≃ − q → ⋅ ∇ k f k {\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}} . これらをリンドハード公式に代入し、極限 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} をとると、 ϵ ( 0 , ω ) ≃ 1 + V q ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ ω 0 − ℏ 2 k → ⋅ q → m ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ( 1 + ℏ k → ⋅ q → m ω 0 ) ≃ 1 + V q ℏ ω 0 ∑ k , i q i ∂ f k ∂ k i ℏ k → ⋅ q → m ω 0 = 1 + V q ℏ ω 0 2 ∫ d 2 k ( L 2 π ) 2 ∑ i , j q i ∂ f k ∂ k i ℏ k j q j m ω 0 = 1 + V q L 2 m ω 0 2 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 ∑ i , j q i q j k j ∂ f k ∂ k i = 1 + V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 k j ∂ f k ∂ k i = 1 − V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j 2 ∫ d 2 k ( 2 π ) 2 k k ∂ f j ∂ k i = 1 − V q L 2 m ω 0 2 ∑ i , j q i q j n δ i j = 1 − 2 π e 2 ϵ q L 2 L 2 m ω 0 2 q 2 n = 1 − ω p l 2 ( q ) ω 0 2 , {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}} ここで E k = ℏ ϵ k {\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}} 、 V q = 2 π e 2 ϵ q L 2 {\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}} 、 ω p l 2 ( q ) = 2 π e 2 n q ϵ m {\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}} を用いた。
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