量子力学での角運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 08:14 UTC 版)
量子力学では、角運動量は以下の交換関係を満たす演算子 J ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}} として定義される。 [ J ^ x , J ^ y ] = i J ^ z , [ J ^ y , J ^ z ] = i J ^ x , [ J ^ z , J ^ x ] = i J ^ y {\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i{\hat {J}}_{z},~[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i{\hat {J}}_{x},~[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i{\hat {J}}_{y}} あるいは、3つの式をまとめて [ J ^ i , J ^ j ] = i ϵ i j k J ^ k {\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}} ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} は完全反対称テンソルである。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。 この角運動量の性質を調べると、 J ^ = L ^ + S ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {S}}}} の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。 [ L ^ i , L ^ j ] = i ϵ i j k L ^ k , [ S ^ i , S ^ j ] = i ϵ i j k S ^ k , [ L ^ i , S ^ j ] = 0 {\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k},~[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k},~[{\hat {L}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=0} 軌道角運動量 L ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}} は、 L ^ = r ^ × p ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {r}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}}} のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。 詳細は「軌道角運動量」を参照 スピン角運動量 S ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {S}}}} は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。 詳細は「スピン角運動量」を参照
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