通常平面との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/30 22:19 UTC 版)
体 K 上の通常の平面 K 2 は射影平面 KP2 へ写像 ( x 1 , x 2 ) ↦ ( 1 , x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2})} によって埋め込むことができる。この写像の像の補集合は (0, x 1, x 2) なる形の点全体の成す集合であり、このような埋め込みが与えられているという観点で言えば、これらの点は無限遠点を表している。無限遠点の全体は KP2 における直線を成す（つまり、この直線は K 3 における平面 { k ( 0 , 0 , 1 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(0,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}} から生じる）。直観的には、無限遠点というのは平行線の交わる所としての「余分な」点であり、点 (0, x 1, x 2) というのは傾きが x 2/x 1 であるような直線すべての交点に対応する。例えば、通常の平面 K 2 における二直線 a = { ( x 1 , 0 ) : x 1 ∈ K } , b = { ( x 1 , 1 ) : x 1 ∈ K } {\displaystyle {\begin{aligned}a&=\{(x_{1},0):x_{1}\in K\},\\b&=\{(x_{1},1):x_{1}\in K\}\end{aligned}}} を考えれば、これらの傾きはともに 0 であってこれらは交わらない。これらを先ほどの埋め込みによって KP2 の部分集合と見なせば、これらは KP2 における直線とはならないが、それぞれに点 (0, 1, 0) を加えた a ¯ = { ( 1 , x 1 , 0 ) : x 1 ∈ K } ∪ { ( 0 , 1 , 0 ) } b ¯ = { ( 1 , x 1 , 1 ) : x 1 ∈ K } ∪ { ( 0 , 1 , 0 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {a}}=\{(1,x_{1},0):x_{1}\in K\}\cup \{(0,1,0)\}\\{\bar {b}}=\{(1,x_{1},1):x_{1}\in K\}\cup \{(0,1,0)\}\end{aligned}}} は KP2 における直線となる。a は K3 における平面 { k ( 1 , 0 , 0 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(1,0,0)+l(0,1,0):k,l\in K\}} から生じ、b は平面 { k ( 1 , 0 , 1 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(1,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}} から生じる。これらの射影直線 a, b は点 (0, 1, 0) において交わる。実は、K 2 における傾き 0 の直線はすべて、この方法で射影化したとき、KP2 の点 (0, 1, 0) において交わる。 先ほど与えた平面 K 2 の射影平面 KP2 への埋め込みは一意ではなく、それぞれの埋め込みごとにその無限遠点となる点は変わってくる。例えば、埋め込み ( x 1 , x 2 ) ↦ ( x 2 , 1 , x 1 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (x_{2},1,x_{1})} を考えれば、像の補集合に属する (x 0, 0, x 2) なる形の点が無限遠点と見なされる。
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