超越数の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 09:05 UTC 版)
定理1および、その系から得られる例を挙げる 代数的数 α , β ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0} に対する、 e α π + β {\displaystyle e^{\alpha \pi +\beta }} 。 代数的数 α , β ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0} に対する、 sin ( α π + β ) {\displaystyle \sin {(\alpha \pi +\beta )}} , cos ( α π + β ) {\displaystyle \cos {(\alpha \pi +\beta )}} , tan ( α π + β ) {\displaystyle \tan {(\alpha \pi +\beta )}} 。 代数的数 α , β ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0} に対する、 sinh ( α π + β ) {\displaystyle \sinh {(\alpha \pi +\beta )}} , cosh ( α π + β ) {\displaystyle \cosh {(\alpha \pi +\beta )}} , tanh ( α π + β ) {\displaystyle \tanh {(\alpha \pi +\beta )}} 。 代数的数 α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、 π + log α {\displaystyle \pi +\log {\alpha }} 。 3 ∫ 0 1 d t 1 + t 3 ( = π 3 + log 2 ) {\displaystyle 3\int _{0}^{1}{\frac {dt}{1+t^{3}}}\ (={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}+\log 2)} 。 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + x {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}} (x は、正の有理数)。 ∑ n = 0 ∞ x n ( n + x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{n(n+x)}}} (x は、整数ではない、正の有理数)。 定理2 および、その系から得られる例を挙げる。 以下において、β を、次数 d 以下、高さが B ( ≥ 2 ) {\displaystyle \scriptstyle B(\geq 2)} 以下の代数的数とする。 α を 0, 1 以外の代数的数としたとき、 | log α − β | > B − C {\displaystyle |\log \alpha -\beta |>B^{-C}} (但し、C は、α、d にだけ依存する、計算可能な正定数)。 | π − β | > B − C {\displaystyle |\pi -\beta |>B^{-C}} (但し、C は、d にだけ依存する、計算可能な正定数)。 | e π − p q | > q − c log log q {\displaystyle \left|e^{\pi }-{\frac {p}{q}}\right|>q^{-c\log \log q}} (但し、c は、p/q に依存しない、計算可能な正定数) 。
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