補元と擬補元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
L が最大元 1 と最小元 0 を持つ有界束とする。L の二元 x および y が互いに他の補元 (complements) であるとは x ∨ y = 1 {\displaystyle x\vee y=1} and x ∧ y = 0 {\displaystyle x\wedge y=0} が成り立つことをいう。特に補元が一意に定まる場合、これを ¬x = y および ¬y = x で表す。任意の元が補元を持つ有界束は可補束 (complemented lattice) と呼ばれ、補元が一意に定まる場合、 L 上の単項演算 ¬ は補演算あるいは補化 (complementation) と呼ばれる。これは論理否定の束論における類似物として導入された。一般に補元は一意である必要も、L 上で可能な全ての単項演算のなかで特別なものであるわけでもない。可補束がさらに分配的でもあるならば、それはブール代数である。分配束に対しては、補元は存在すれば一意である。 ハイティング代数は、その元が必ずしも補元を持つとは限らない分配束の例である。しかし、ハイティング代数の各元 x は擬補元 (pseudo-complement) と呼ばれる、やはり ¬x で表される元を必ず持つ。この擬補元は x ∧ y = 0 となるような y の中で最大のものである。ハイティング代数の各元が持つ擬補元が、実際には補元であるとき、そのハイティング代数は実はブール代数である。
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