背景と表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/24 18:56 UTC 版)
kを整数環を持つ代数体とし、 O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} をその整数環とする。 O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} には1の原始n乗根 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} が含まれているとする。 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を p ⊂ O k {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}} である素イデアルであるとし、 nと p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は互いに素（すなわち n ∉ p {\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}} ）。 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} のノルムは、剰余環の位数として定義される（ p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は素イデアルであるため、剰余環は有限体）。： N p := | O k / p | . {\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.} O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} でのフェルマーの小定理の類似物は α ∈ O k − p {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}}} ならば α N p − 1 ≡ 1 mod p {\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}} が成り立つという主張であり、そのまま成立する。 そして、 N p ≡ 1 mod n {\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}} のとき、上記を利用した α N p − 1 n ≡ ζ n s mod p {\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}} はwell-definedであり、 α N p − 1 n {\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}} が mod p {\displaystyle {\bmod {\mathfrak {p}}}} で1の冪根 ζ n s {\displaystyle \zeta _{n}^{s}} と合同であることを意味する。
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