縮退が無い場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 08:44 UTC 版)
規格化された状態ベクトル(または波動関数) | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } で表される系において、エルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} で表される物理量（オブザーバブル)を測定した場合を考える。ただし A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の固有値は離散的 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} である、つまり A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} は離散スペクトル を持つとする。また規格化された固有ベクトルを | λ i ⟩ {\displaystyle |\lambda _{i}\rangle } とする。 A ^ | λ i ⟩ = λ i | λ i ⟩ {\displaystyle {\hat {A}}|\lambda _{i}\rangle =\lambda _{i}|\lambda _{i}\rangle } このときボルンの規則は以下のように書ける。 測定値は A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の固有値 λ {\displaystyle \lambda \ } のいずれかに限られる。 P i ^ ≡ | λ i ⟩ ⟨ λ i | {\displaystyle {\hat {P_{i}}}\equiv |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|} とすると、測定値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} が得られる確率は ⟨ ψ | P i ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | λ i ⟩ ⟨ λ i | ψ ⟩ = | ⟨ λ i | ψ ⟩ | 2 = | ψ ( λ i ) | 2 {\displaystyle \langle \psi |{\hat {P_{i}}}|\psi \rangle =\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle =|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}=|\psi (\lambda _{i})|^{2}} である。 ここで P i ^ {\displaystyle {\hat {P_{i}}}} は「 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の固有値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} に属する固有空間への射影演算子」と呼ばれる。複素数 ψ ( λ i ) ≡ ⟨ λ i | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (\lambda _{i})\equiv \langle \lambda _{i}|\psi \rangle } は「測定値 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} が得られる確率振幅」または「物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 表示の波動関数」と呼ばれる。
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