組合せの数え上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 09:00 UTC 版)
「組合せ (数学)」の記事における「組合せの数え上げ」の解説
A は n-元集合で、a は A に属さない元、k は非負整数とする。このとき、A ∪ {a} の k + 1 個の元からなる部分集合は、A の k + 1 個の元からなる部分集合か、さもなくば単元集合 {a} に A の k-元部分集合を併せたものであるから、 P k + 1 ( A ∪ { a } ) = P k + 1 ( A ) ∪ { X ∪ { a } ∣ X ∈ P k ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{k+1}(A\cup \{a\})={\mathcal {P}}_{k+1}(A)\cup \left\{X\cup \{a\}\mid X\in {\mathcal {P}}_{k}(A)\right\}} と書ける。ただし、k > n のとき 𝒫k(A) = ∅ である。（この等式の位数は、パスカルの三角形を構成するのに用いる漸化式 ( n + 1 k + 1 ) = ( n k + 1 ) + ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n+1}{k+1}}={\tbinom {n}{k+1}}+{\tbinom {n}{k}}} に対応する）。
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