特殊な場合と一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「特殊な場合と一般化」の解説
正の整数 m に対するフルヴィッツのゼータ函数は、ポリガンマ函数 ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)} に関係している。負の整数 −n に対して、値はベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials) ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}} に関係している。 バーンズのゼータ函数 (Barnes zeta function) は、フルヴィッツのゼータ函数を一般化したものである。 レルヒのゼータ函数（英語版）(Lerch transcendent) も、フルヴィッツのゼータ函数を次のように一般化したものである。 Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} であるので、 ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)} となる。 超幾何級数 a 1 = a 2 = … = a s = a {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a} かつ a ∉ N {\displaystyle a\notin \mathbb {N} } かつ s ∈ N + {\displaystyle s\in \mathbb {N} ^{+}} のとき、 ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , … a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , … a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} である。 メイジャーのG-函数（英語版）(Meijer G-function) ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}
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