特別な可測関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/17 10:22 UTC 版)
( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} および ( Y , T ) {\displaystyle (Y,\mathrm {T} )} がボレル空間であるなら、可測関数 f : ( X , Σ ) → ( Y , T ) {\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )} はボレル関数とも呼ばれる。連続関数はボレル関数だが、必ずしもすべてのボレル函数が連続函数となるわけではない。しかしながら、可測関数はほとんど連続関数である; ルージンの定理（英語版）を参照されたい。ボレル関数がある写像 Y → π X {\displaystyle Y{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}X} の切断となるとき、それはボレル切断と呼ばれる。 ルベーグ可測関数とは、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} をルベーグ可測集合族、 B C {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }} を複素数全体の成す集合 C 上のボレル集合族とするときの、可測関数 f : ( R , L ) → ( C , B C ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })} を言う。ルベーグ可測関数は、被積分函数とすることができるという意味で、解析学において研究の興味の対象となる。 定義より、確率変数は標本空間上で定義される可測関数である。
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