流体の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
等方なニュートン流体であれば (F4)より、 各iに対し、 div ( σ i j ) j {\displaystyle \operatorname {div} (\sigma _{ij})_{j}} = ∇ ⋅ ( ( − p + ζ ∑ k E ˙ k k ) δ i j + 2 η E ˙ i j ) j {\displaystyle =\nabla \cdot ((-p+\zeta \sum _{k}{\dot {E}}_{kk})\delta _{ij}+2\eta {\dot {E}}_{ij})_{j}} (F6) であるので、これを連続体の運動方程式(C2) D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\operatorname {D} \mathbf {v} \over \operatorname {D} t}=\mathbf {K} +{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } に代入する事で、等方なニュートン流体の運動方程式が得られる。 ηやζは流体の圧力や温度に依存するが、こうした影響が小さいとすれば ηやζは定数だと見なせるので、(F6)の式の右辺は(B3)より − ∂ i p + ∂ i ( ζ ∇ ⋅ v ) + ∑ j ∂ j ( η ∂ j v i ) + ∂ j ( η ∂ i v j ) {\displaystyle -\partial _{i}p+\partial _{i}(\zeta \nabla \cdot \mathbf {v} )+\sum _{j}\partial _{j}(\eta \partial _{j}v_{i})+\partial _{j}(\eta \partial _{i}v_{j})} = − ∂ i p + ( ζ + η ) ∂ i ∇ ⋅ v + η Δ v j {\displaystyle =-\partial _{i}p+(\zeta +\eta )\partial _{i}\nabla \cdot \mathbf {v} +\eta \Delta v_{j}} となる。ここでΔはラプラシアンである。よって(F5)よりナビエ・ストークス方程式 D v D t = K − 1 ρ ∇ p + ( χ + η 3 ) 1 ρ ∇ ( ∇ ⋅ v ) + η ρ Δ v {\displaystyle {\operatorname {D} \mathbf {v} \over \operatorname {D} t}=\mathbf {K} -{1 \over \rho }\nabla p+(\chi +{\eta \over 3}){1 \over \rho }\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )+{\eta \over \rho }\Delta \mathbf {v} } が従う。
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