汎函数としての積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/25 07:00 UTC 版)
線型汎函数が初めて現れたのは、函数解析学における函数の成すベクトル空間の研究に際してである。積分は線型汎函数の典型例で、リーマン積分 I ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx} によって与えられる汎函数は、区間 [a, b] 上の連続函数全体の成すベクトル空間 C[a, b] から実数全体 R への線型汎函数になる。I(f) の線型性は、積分に関して I ( f + g ) = ∫ a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x = I ( f ) + I ( g ) I ( α f ) = ∫ a b α f ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x = α I ( f ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx\\&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\[5pt]I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx\\&=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)\end{aligned}}} が成り立つという標準的な事実から従う。
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