正項級数の打切り誤差（剰余項）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 01:28 UTC 版)
「級数」の記事における「正項級数の打切り誤差（剰余項）」の解説
正項級数を S := ∑ m = 0 ∞ a m {\displaystyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}} と定めてその部分和を S n := ∑ m = 0 n a m {\displaystyle S_{n}:=\sum _{m=0}^{n}a_{m}} とする。このとき、 1 > a n + 2 a n + 1 > a n + 3 a n + 2 > ⋯ {\displaystyle 1>{\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}}}>{\frac {a_{n+3}}{a_{n+2}}}>\cdots } が成り立つとき、公比の最大値を用いて打切り誤差を | S − S n | = | ∑ m = n + 1 ∞ a m | ≤ a n + 1 1 − a n + 2 / a n + 1 = a n + 1 2 a n + 1 − a n + 2 {\displaystyle |S-S_{n}|=\left|\sum _{m=n+1}^{\infty }a_{m}\right|\leq {\frac {a_{n+1}}{1-a_{n+2}/a_{n+1}}}={\frac {{a_{n+1}}^{2}}{a_{n+1}-a_{n+2}}}} と評価できる。
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