正百八十角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 01:14 UTC 版)
正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は S = 45 a 2 cot π 180 {\displaystyle S=45a^{2}\cot {\frac {\pi }{180}}} 関係式 x 1 = 2 cos 2 π 180 + 2 cos 122 π 180 + 2 cos 118 π 180 = 0 x 2 = 2 cos 26 π 180 + 2 cos 146 π 180 + 2 cos 94 π 180 = 0 x 3 = 2 cos 14 π 180 + 2 cos 134 π 180 + 2 cos 106 π 180 = 0 x 4 = 2 cos 178 π 180 + 2 cos 58 π 180 + 2 cos 62 π 180 = 0 x 5 = 2 cos 98 π 180 + 2 cos 142 π 180 + 2 cos 22 π 180 = 0 x 6 = 2 cos 166 π 180 + 2 cos 46 π 180 + 2 cos 74 π 180 = 0 x 7 = 2 cos 34 π 180 + 2 cos 86 π 180 + 2 cos 154 π 180 = 0 x 8 = 2 cos 82 π 180 + 2 cos 38 π 180 + 2 cos 158 π 180 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {26\pi }{180}}+2\cos {\frac {146\pi }{180}}+2\cos {\frac {94\pi }{180}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {14\pi }{180}}+2\cos {\frac {134\pi }{180}}+2\cos {\frac {106\pi }{180}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {178\pi }{180}}+2\cos {\frac {58\pi }{180}}+2\cos {\frac {62\pi }{180}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {98\pi }{180}}+2\cos {\frac {142\pi }{180}}+2\cos {\frac {22\pi }{180}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {166\pi }{180}}+2\cos {\frac {46\pi }{180}}+2\cos {\frac {74\pi }{180}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {34\pi }{180}}+2\cos {\frac {86\pi }{180}}+2\cos {\frac {154\pi }{180}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {82\pi }{180}}+2\cos {\frac {38\pi }{180}}+2\cos {\frac {158\pi }{180}}=0\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 180 ⋅ 2 cos 122 π 180 + 2 cos 122 π 180 ⋅ 2 cos 118 π 180 + 2 cos 118 π 180 ⋅ 2 cos 2 π 180 = − 3 2 cos 2 π 180 ⋅ 2 cos 122 π 180 ⋅ 2 cos 118 π 180 = 2 cos 2 π 60 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{180}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}=2\cos {\frac {2\pi }{60}}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − 3 u − 2 cos 2 π 60 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{60}}=0} 三次方程式を解くと u 1 = 2 cos 2 π 180 = cos 2 π 60 + i sin 2 π 60 3 + cos 2 π 60 − i sin 2 π 60 3 4 cos 2 π 180 = 8 cos 2 π 60 + i 8 sin 2 π 60 3 + 8 cos 2 π 60 − i 8 sin 2 π 60 3 4 cos 2 π 180 = 10 − 20 + 3 + 15 + i ⋅ ( 30 − 180 − 5 − 1 ) 3 + 10 − 20 + 3 + 15 − i ⋅ ( 30 − 180 − 5 − 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}+i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}-i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}+i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}-i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}\\\end{aligned}}} cos ( 2 π / 180 ) {\displaystyle \cos(2\pi /180)} を平方根と立方根で表すと cos 2 π 180 = 1 4 10 − 20 + 3 + 15 + ( 30 − 180 − 5 − 1 ) i 3 + 1 4 10 − 20 + 3 + 15 − ( 30 − 180 − 5 − 1 ) i 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{180}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}}
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