正百四十四角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/30 03:55 UTC 版)
正百四十四角形においては、中心角と外角は2.5°で、内角は177.5°となる。一辺の長さが a の正百四十四角形の面積 S は S = 36 a 2 cot π 144 {\displaystyle S=36a^{2}\cot {\frac {\pi }{144}}} 関係式 x 1 = 2 cos 2 π 144 + 2 cos 98 π 144 + 2 cos 94 π 144 = 0 x 2 = 2 cos 14 π 144 + 2 cos 110 π 144 + 2 cos 82 π 144 = 0 x 3 = 2 cos 10 π 144 + 2 cos 86 π 144 + 2 cos 106 π 144 = 0 x 4 = 2 cos 70 π 144 + 2 cos 26 π 144 + 2 cos 122 π 144 = 0 x 5 = 2 cos 50 π 144 + 2 cos 142 π 144 + 2 cos 46 π 144 = 0 x 6 = 2 cos 62 π 144 + 2 cos 130 π 144 + 2 cos 34 π 144 = 0 x 7 = 2 cos 38 π 144 + 2 cos 134 π 144 + 2 cos 58 π 144 = 0 x 8 = 2 cos 22 π 144 + 2 cos 74 π 144 + 2 cos 118 π 144 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {14\pi }{144}}+2\cos {\frac {110\pi }{144}}+2\cos {\frac {82\pi }{144}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {10\pi }{144}}+2\cos {\frac {86\pi }{144}}+2\cos {\frac {106\pi }{144}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {70\pi }{144}}+2\cos {\frac {26\pi }{144}}+2\cos {\frac {122\pi }{144}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {50\pi }{144}}+2\cos {\frac {142\pi }{144}}+2\cos {\frac {46\pi }{144}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {62\pi }{144}}+2\cos {\frac {130\pi }{144}}+2\cos {\frac {34\pi }{144}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {38\pi }{144}}+2\cos {\frac {134\pi }{144}}+2\cos {\frac {58\pi }{144}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {22\pi }{144}}+2\cos {\frac {74\pi }{144}}+2\cos {\frac {118\pi }{144}}=0\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 144 ⋅ 2 cos 98 π 144 + 2 cos 98 π 144 ⋅ 2 cos 94 π 144 + 2 cos 94 π 144 ⋅ 2 cos 2 π 144 = − 3 2 cos 2 π 144 ⋅ 2 cos 98 π 144 ⋅ 2 cos 94 π 144 = 2 cos 2 π 48 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{144}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}=2\cos {\frac {2\pi }{48}}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − 3 u − 2 cos 2 π 48 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{48}}=0} 三次方程式を解くと u 1 = 2 cos 2 π 144 = cos 2 π 48 + i sin 2 π 48 3 + cos 2 π 48 − i sin 2 π 48 3 4 cos 2 π 144 = 8 cos 2 π 48 + i 8 sin 2 π 48 3 + 8 cos 2 π 48 − i 8 sin 2 π 48 3 4 cos 2 π 144 = 4 2 + 2 + 3 + i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 + 4 2 + 2 + 3 − i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}+i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}-i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}+i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}-i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\\\end{aligned}}} cos ( 2 π / 144 ) {\displaystyle \cos(2\pi /144)} を平方根と立方根で表すと cos 2 π 144 = 1 4 4 2 + 2 + 3 + i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 + 1 4 4 2 + 2 + 3 − i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{144}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
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