正五十二角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 21:56 UTC 版)
正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は S = 13 a 2 cot π 52 a 2 {\displaystyle S=13a^{2}\cot {\frac {\pi }{52}}a^{2}} 関係式 x 1 = 2 cos 2 π 52 + 2 cos 18 π 52 + 2 cos 46 π 52 = 13 − 3 13 2 x 2 = 2 cos 10 π 52 + 2 cos 14 π 52 + 2 cos 22 π 52 = 13 + 3 13 2 x 3 = 2 cos 50 π 52 + 2 cos 34 π 52 + 2 cos 6 π 52 = − 13 − 3 13 2 x 4 = 2 cos 42 π 52 + 2 cos 38 π 52 + 2 cos 30 π 52 = − 13 + 3 13 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{52}}+2\cos {\frac {14\pi }{52}}+2\cos {\frac {22\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{52}}+2\cos {\frac {34\pi }{52}}+2\cos {\frac {6\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {42\pi }{52}}+2\cos {\frac {38\pi }{52}}+2\cos {\frac {30\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 52 ⋅ 2 cos 18 π 52 + 2 cos 18 π 52 ⋅ 2 cos 46 π 52 + 2 cos 46 π 52 ⋅ 2 cos 2 π 52 = 2 cos 10 π 26 + 2 cos 14 π 26 + 2 cos 22 π 26 + 2 cos 4 π 13 + 2 cos 10 π 13 + 2 cos 12 π 13 = − 13 2 cos 2 π 52 ⋅ 2 cos 18 π 52 ⋅ 2 cos 46 π 52 = x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{52}}\\&=2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}+2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=-{\sqrt {13}}\\&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}=x_{4}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − x 1 u 2 − 13 u − x 4 = 0 {\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}-{\sqrt {13}}u-x_{4}=0} 変数変換 u = v + x 1 / 3 {\displaystyle u=v+x_{1}/3} 整理すると v 3 − 13 + 3 13 6 v − ( 13 + 6 13 ) x 1 + 27 x 4 27 = 0 {\displaystyle v^{3}-{\frac {13+3{\sqrt {13}}}{6}}v-{\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{27}}=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解は u 1 = x 1 3 + 2 3 13 + 3 13 2 cos ( 1 3 arccos ( ( 13 + 6 13 ) x 1 + 27 x 4 ( 13 + 3 13 ) 13 + 3 13 2 ) ) {\displaystyle u_{1}={\frac {x_{1}}{3}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{(13+3{\sqrt {13}}){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}}}\right)\right)} u 1 = 1 3 13 − 3 13 2 + 2 3 13 + 3 13 2 cos ( 1 3 arccos ( − 5 13 26 ) ) {\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}\right)\right)} 平方根、立方根で表すと u 1 = 1 3 13 − 3 13 2 + 1 3 13 + 3 13 2 − 5 13 26 + i 3 39 26 3 + 1 3 13 + 3 13 2 − 5 13 26 − i 3 39 26 3 {\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}} cos ( 2 π / 52 ) {\displaystyle \cos(2\pi /52)} を平方根と立方根で表すと cos 2 π 52 = 1 6 13 − 3 13 2 + 1 6 13 + 3 13 2 − 5 13 26 + i 3 39 26 3 + 1 6 13 + 3 13 2 − 5 13 26 − i 3 39 26 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{52}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}}
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